A função seno hiperbólico é invertível. A sua inversa é definida por:
Verifique que:
.
Passo 1
O enunciado dá a definição da inversa do seno hiperbólico:
se e somente se
.
O que pede: verificar (ou seja, demonstrar) que
O que pede: verificar (ou seja, demonstrar) que
Informações relevantes fornecidas:
é qualquer número real e a função
é invertível (logo a inversa existe e é única).
Passo 2
Começamos pela definição da inversa: seja
tal que
Agora escrevemos
em termos exponenciais. Lembre que, por definição,
Aqui
é a exponencial de
e
é o inverso multiplicativo de
.
Passo 3
Substituindo na igualdade
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
fica
Passo 4
Para resolver essa equação em
é conveniente fazer a troca
. Note que
para todo
. Então
e a equação vira
Multiplicando por
(lembrando que
) obtemos um polinómio quadrático:
ou, reorganizando,
Passo 5
Agora resolvemos a equação quadrática em
pela fórmula de Bhaskara. Para
a solução é
. Aplicando com
,
,
temos
Passo 6
Temos duas raízes formais
e
. Mas lembramos que
. Vamos decidir qual sinal escolher:
- Para qualquer
vale . Logo . Assim a raiz é sempre negativa, logo não pode ser . - Em contrapartida
para todo , então essa é a raiz admissível.
Portanto
Passo 7
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que
é a inversa de
) obtemos
Como
foi um elemento tal que
, isto nos dá a expressão da inversa:
A expressão dentro do
é sempre positiva (ver Passo 6), então a fórmula é válida para todo
.
Passo 8
Para consolidar a verificação podemos checar rapidamente que essa função realmente compõe com
para retornar
. Se definirmos
então a equação quadrática do Passo 4 implica
. Dividindo por
temos
. Mas
porque
. Assim
, que é exatamente a propriedade de inversa que queríamos.
Passo 9
Comentário adicional (útil na prova): a monotonicidade de
garante unicidade da inversa. De fato
então
é estritamente crescente e, portanto, invertível. Ainda, derivando a expressão encontrada para
obtemos a fórmula conhecida
o que também bate com a regra da derivada da inversa, já que
.