A função seno hiperbólico é invertível. A sua inversa é definida por:
y=\operatorname{argsenh}(x) \text { se e somente se } \operatorname{senh}(y)=x
Verifique que:
\operatorname{argsenh}(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right), x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a definição da inversa do seno hiperbólico: y=\operatorname{argsenh}(x) se e somente se \operatorname{senh}(y)=x.
O que pede: verificar (ou seja, demonstrar) que
\operatorname{argsenh}(x)=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right),\quad x\in\mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas: x é qualquer número real e a função \operatorname{senh} é invertível (logo a inversa existe e é única).

Passo 2

Começamos pela definição da inversa: seja y tal que
\operatorname{senh}(y)=x.
Agora escrevemos \operatorname{senh} em termos exponenciais. Lembre que, por definição,
\operatorname{senh}(y)=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Aqui e^{y} é a exponencial de y e e^{-y} é o inverso multiplicativo de e^{y}.

Passo 3

Substituindo na igualdade \operatorname{senh}(y)=x obtemos
\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}=x.
Multiplicando ambos os lados por 2 fica
e^{y}-e^{-y}=2x.

Passo 4

Para resolver essa equação em y é conveniente fazer a troca u=e^{y}. Note que u>0 para todo y. Então e^{-y}=\dfrac{1}{u} e a equação vira
u-\frac{1}{u}=2x.
Multiplicando por u (lembrando que u>0) obtemos um polinómio quadrático:
u^{2}-1=2xu
ou, reorganizando,
u^{2}-2xu-1=0.

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática em u pela fórmula de Bhaskara. Para au^{2}+bu+c=0 a solução é u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aplicando com a=1, b=-2x, c=-1 temos
u=\frac{2x\pm\sqrt{(2x)^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2} =\frac{2x\pm\sqrt{4x^{2}+4}}{2} =\frac{2x\pm 2\sqrt{x^{2}+1}}{2} = x\pm\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 6

Temos duas raízes formais u=x+\sqrt{x^{2}+1} e u=x-\sqrt{x^{2}+1}. Mas lembramos que u=e^{y}>0. Vamos decidir qual sinal escolher:
  • Para qualquer x\in\mathbb{R} vale \sqrt{x^{2}+1}>|x|. Logo x-\sqrt{x^{2}+1}<0. Assim a raiz x-\sqrt{x^{2}+1} é sempre negativa, logo não pode ser u.
  • Em contrapartida x+\sqrt{x^{2}+1}>0 para todo x, então essa é a raiz admissível.
Portanto
u=e^{y}=x+\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 7

Tomando logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que \ln é a inversa de e^{(\cdot)}) obtemos
y=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
Como y foi um elemento tal que \operatorname{senh}(y)=x, isto nos dá a expressão da inversa:
\operatorname{argsenh}(x)=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
A expressão dentro do \ln é sempre positiva (ver Passo 6), então a fórmula é válida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 8

Para consolidar a verificação podemos checar rapidamente que essa função realmente compõe com \operatorname{senh} para retornar x. Se definirmos
u=x+\sqrt{x^{2}+1},
então a equação quadrática do Passo 4 implica u-\dfrac{1}{u}=2x. Dividindo por 2 temos \dfrac{u-1/u}{2}=x. Mas \dfrac{u-1/u}{2}=\operatorname{senh}(\ln u) porque u=e^{\ln u}. Assim \operatorname{senh}\bigl(\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\bigr)=x, que é exatamente a propriedade de inversa que queríamos.

Passo 9

Comentário adicional (útil na prova): a monotonicidade de \operatorname{senh} garante unicidade da inversa. De fato
\frac{d}{dy}\operatorname{senh}(y)=\operatorname{cosh}(y)=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}>0,
então \operatorname{senh} é estritamente crescente e, portanto, invertível. Ainda, derivando a expressão encontrada para \operatorname{argsenh} obtemos a fórmula conhecida
\frac{d}{dx}\operatorname{argsenh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}},
o que também bate com a regra da derivada da inversa, já que \operatorname{cosh}(y)=\sqrt{1+\operatorname{senh}^{2}(y)}=\sqrt{1+x^{2}}.

Resposta

\operatorname{argsenh}(x)=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)

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