Determine a inversa das seguintes funções :
Passo 1
O enunciado pede: determinar a inversa da função
Informações dadas e perguntas explícitas:
A função dada é
.\n
Precisamos encontrar
, isto é, uma fórmula para a função inversa e indicar onde ela está definida (domínio da inversa).\n
Dados relevantes que já aparecem no enunciado: a base do logaritmo é
(ou seja,
) e aparece a exponencial
.
Passo 2
Regras e conceitos que vamos usar (explicados devagar):
Definição de inversa: se
, a inversa
troca variáveis; para achá‑la escrevemos
e resolvemos essa equação para
em função de
. O resultado
é
.\n
Equivalência logaritmo ↔ potência: a igualdade
é equivalente a
desde que
,
e
. Aqui
é a base do log e
é o argumento do logaritmo.\n
Domínio do logaritmo: precisamos que o argumento do log seja positivo. No nosso caso o argumento é
, e isso influencia o domínio de
.
Passo 3
Determinar o domínio de
e observar o comportamento (importante para garantir inversibilidade).
O argumento do log é
. Como
para todo
, segue que
para todo
. Logo o domínio de
é todo
.\n
Comportamento da função (para saber a imagem): para
temos
, então
e
Para
temos
e, como a base
é menor que
,
quando
. Portanto a imagem (alcance) de
é o intervalo
Passo 4
Verificar monoconicidade (para garantir que a inversa existe):
A função
é estritamente crescente. A função
, com
, é estritamente decrescente porque a base
está entre
e
. A composição de uma função crescente com uma função decrescente é decrescente. Logo
é estritamente decrescente e, portanto, injetora — tem inversa definida sobre sua imagem
.
Passo 5
Encontrar a inversa algébrica passo a passo:
Começamos escrevendo e depois isolamos
em função de
.
Começamos escrevendo
Usando a equivalência logaritmo↔potência (ver Passo 2), reescrevemos como
Agora isolamos
:
Para obter
, aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial):
Assim a função inversa, escrita trocando o papel de
por
(forma usual), é
Passo 6
Determinar o domínio da inversa e justificar:
Para que
faça sentido precisamos que o argumento do log natural seja positivo:
o que bate com a imagem de
(como deve ser).
Passo 7
Breve checagem por composição (opcional mas útil para prova):
Se
, então
onde usei
e a propriedade
. Isso confirma que a expressão encontrada é de fato a inversa naqueles
.
Resposta
Domínio de