Determine a inversa das seguintes funções :
\log _{0.5}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a inversa da função
f(x)=\log_{0,5}\!\big(\mathrm{e}^{x}+1\big).
Informações dadas e perguntas explícitas:
\bullet A função dada é f(x)=\log_{0,5}\!\big(\mathrm{e}^{x}+1\big).\n
\bullet Precisamos encontrar f^{-1}, isto é, uma fórmula para a função inversa e indicar onde ela está definida (domínio da inversa).\n
\bullet Dados relevantes que já aparecem no enunciado: a base do logaritmo é 0,5 (ou seja, 0<0,5<1) e aparece a exponencial \mathrm{e}^{x}.

Passo 2

Regras e conceitos que vamos usar (explicados devagar):
\bullet Definição de inversa: se y=f(x), a inversa f^{-1} troca variáveis; para achá‑la escrevemos y=f(x) e resolvemos essa equação para x em função de y. O resultado x=g(y) é f^{-1}(y).\n
\bullet Equivalência logaritmo ↔ potência: a igualdade
y=\log_{a}(A)
é equivalente a
a^{y}=A,
desde que a>0, a\neq1 e A>0. Aqui a é a base do log e A é o argumento do logaritmo.\n
\bullet Domínio do logaritmo: precisamos que o argumento do log seja positivo. No nosso caso o argumento é \mathrm{e}^{x}+1, e isso influencia o domínio de f.

Passo 3

Determinar o domínio de f e observar o comportamento (importante para garantir inversibilidade).
\bullet O argumento do log é \mathrm{e}^{x}+1. Como \mathrm{e}^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, segue que \mathrm{e}^{x}+1>1>0 para todo x. Logo o domínio de f é todo \mathbb{R}.\n
\bullet Comportamento da função (para saber a imagem): para x\to-\infty temos \mathrm{e}^{x}\to0, então \mathrm{e}^{x}+1\to1^{+} e
\log_{0,5}\!\big(\mathrm{e}^{x}+1\big)\to\log_{0,5}(1)=0.
Para x\to+\infty temos \mathrm{e}^{x}+1\to+\infty e, como a base 0,5 é menor que 1, \log_{0,5}(t)\to-\infty quando t\to+\infty. Portanto a imagem (alcance) de f é o intervalo
(-\infty,0).

Passo 4

Verificar monoconicidade (para garantir que a inversa existe):
\bullet A função x\mapsto\mathrm{e}^{x}+1 é estritamente crescente. A função t\mapsto\log_{0,5}(t), com 0<t, é estritamente decrescente porque a base 0,5 está entre 0 e 1. A composição de uma função crescente com uma função decrescente é decrescente. Logo f é estritamente decrescente e, portanto, injetora — tem inversa definida sobre sua imagem (- \infty,0).

Passo 5

Encontrar a inversa algébrica passo a passo:
Começamos escrevendo y=f(x) e depois isolamos x em função de y.
y=\log_{0,5}\!\big(\mathrm{e}^{x}+1\big).
Usando a equivalência logaritmo↔potência (ver Passo 2), reescrevemos como
(0,5)^{y}=\mathrm{e}^{x}+1.
Agora isolamos \mathrm{e}^{x}:
\mathrm{e}^{x}=(0,5)^{y}-1.
Para obter x, aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial):
x=\ln\!\big((0,5)^{y}-1\big).
Assim a função inversa, escrita trocando o papel de y por x (forma usual), é
f^{-1}(x)=\ln\!\big((0,5)^{x}-1\big).

Passo 6

Determinar o domínio da inversa e justificar:
\bullet Para que f^{-1}(x)=\ln\!\big((0,5)^{x}-1\big) faça sentido precisamos que o argumento do log natural seja positivo:
(0,5)^{x}-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad (0,5)^{x}>1.
\bullet Como 0<0,5<1, a função x\mapsto(0,5)^{x} é decrescente e satisfaz (0,5)^{0}=1. Portanto (0,5)^{x}>1 ocorre exatamente quando x<0. Logo o domínio de f^{-1} é
(-\infty,0),
o que bate com a imagem de f (como deve ser).

Passo 7

Breve checagem por composição (opcional mas útil para prova):
\bullet Se x\in(-\infty,0), então
f\big(f^{-1}(x)\big) = \log_{0,5}\!\Big(\mathrm{e}^{\,\ln\!\big((0,5)^{x}-1\big)}+1\Big) = \log_{0,5}\!\big((0,5)^{x}-1+1\big) = \log_{0,5}\!\big((0,5)^{x}\big) = x,
onde usei \mathrm{e}^{\ln(\cdot)}=\cdot e a propriedade \log_{a}(a^{u})=u. Isso confirma que a expressão encontrada é de fato a inversa naqueles x.

Resposta

f^{-1}(x)=\ln\!\big((0,5)^{x}-1\big)\n
Domínio de f^{-1}: x\in(-\infty,0).

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