Determine o inverso do complexo
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede o inverso do número complexo
. O conteúdo principal é a periodicidade das potências de
(repetem-se a cada 4) e a fórmula do inverso de um complexo, que usa o conjugado e o módulo.
Passo 2
Primeiro, usamos a periodicidade
para simplificar cada termo: calculamos o resto da divisão de cada expoente por 4.
Passo 3
O expoente 77 deixa resto 1 em módulo 4, logo:
O expoente 43 deixa resto 3 em módulo 4, logo:
O expoente 26 deixa resto 2 em módulo 4, logo:
Passo 4
Agora somamos os termos para obter
:
Passo 5
Para encontrar o inverso de
, usamos a fórmula
onde
é o conjugado e
é o quadrado do módulo de
.
Passo 6
Calculamos o conjugado e o módulo ao quadrado de
:
O conjugado é .
O módulo ao quadrado é
O conjugado é
O módulo ao quadrado é
Passo 7
Substituindo na fórmula do inverso, temos:
Resposta
-\tfrac{1}{5}-\tfrac{2}{5}i