Determine o inverso do complexo z nos seguintes casos:
z=i^77-i^43+i^26

Passo 1

O enunciado pede o inverso do número complexo z=i^77-i^43+i^26. O conteúdo principal é a periodicidade das potências de i (repetem-se a cada 4) e a fórmula do inverso de um complexo, que usa o conjugado e o módulo.

Passo 2

Primeiro, usamos a periodicidade i^n+4=i^n para simplificar cada termo: calculamos o resto da divisão de cada expoente por 4.

Passo 3

O expoente 77 deixa resto 1 em módulo 4, logo:
i^77=i^4cdot19+1=i^1=i
O expoente 43 deixa resto 3 em módulo 4, logo:
i^43=i^4cdot10+3=i^3=-i
O expoente 26 deixa resto 2 em módulo 4, logo:
i^26=i^4cdot6+2=i^2=-1

Passo 4

Agora somamos os termos para obter z:
z=i^77-i^43+i^26=i-(-i)+(-1)=i+i-1=2i-1

Passo 5

Para encontrar o inverso de z, usamos a fórmula
1z=overline z|z|^2,
onde overline z é o conjugado e |z|^2 é o quadrado do módulo de z.

Passo 6

Calculamos o conjugado e o módulo ao quadrado de z=-1+2i:
O conjugado é overline z=-1-2i.
O módulo ao quadrado é
|z|^2=(-1)^2+(2)^2=1+4=5

Passo 7

Substituindo na fórmula do inverso, temos:
1z=-1-2i5=-15-25i

Resposta

-\tfrac{1}{5}-\tfrac{2}{5}i

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