Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular a Transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{2} $. Para isso, vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace e como aplicá-la em funções polinomiais como essa. Basicamente, a Transformada de Laplace transforma uma função do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $, facilitando resolver equações diferenciais e outros problemas matemáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada pela integral:
No nosso caso, $ f(t) = t^{2} $. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Para resolver essa integral, podemos usar uma fórmula conhecida da Transformada de Laplace para funções do tipo $ t^{n} $, onde $ n $ é um número inteiro positivo. A fórmula é:
Aqui, $ n! $ representa o fatorial de $ n $. No nosso caso, $ n = 2 $.
Passo 4
Aplicando a fórmula com $ n = 2 $, temos:
Aqui, calculamos o fatorial de 2, que é $ 2! = 2 $, e substituímos na expressão.
Resposta
A Transformada de Laplace de $ t^{2} $ é: