Determine quais itens são verdadeiros e quais itens são falsos, justificando sua resposta.
O conjunto
é subespaço de
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A pergunta é: o conjunto
é um subespaço de
? Vou assumir que
é o espaço das matrizes
sobre
(campo padrão). As informações relevantes são:
-
contém todas as matrizes quadradas que são iguais à sua transposta. - Preciso decidir verdadeiro ou falso e justificar.]
Passo 2
Lembrete didático: para mostrar que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço, basta verificar três coisas simples (é uma forma mínima e prática):
-
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero). -
é fechado em relação à soma: se então . -
é fechado em relação à multiplicação por escalar: se e então .
Vou explicar o porquê: um subespaço precisa conter combinações lineares arbitrárias
; checando fechamento por soma e por escalar garantimos isso. Não é preciso testar todas as combinações separadamente.
Passo 3
Verificação do item 1 (não vazio / contém zero).
A matriz zero
A matriz zero
satisfaz
. Portanto
. Assim
não é vazio. (Esse passo garante que existe pelo menos um elemento — muito importante.)]
Passo 4
Verificação do item 2 (fechamento pela soma).
Sejam . Por definição de
temos
e
. Use a propriedade básica da transposta: para quaisquer matrizes
com mesma ordem,
Sejam
Aplicando-a,
Então
também é igual à sua transposta, logo
. Portanto
é fechado por soma.
Passo 5
Verificação do item 3 (fechamento por multiplicação escalar).
Seja e
. Use a propriedade da transposta com escalares:
Seja
Como
, segue
Assim
. Logo
é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão:
contém o vetor zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Portanto
é subespaço de
. (Resumo intuitivo: a operação “transposta” é linear, e o conjunto de pontos fixos de um operador linear é um subespaço — aqui a transposição é linear e os fixos são exatamente as matrizes simétricas.)
Passo 7
Observação extra (útil para a prova): toda matriz simétrica
tem a forma
ou seja, é determinada por três parâmetros
. Assim
. Uma base conveniente é, por exemplo,
Isso confirma de forma concreta que
é um subespaço de dimensão
.]
Resposta
Verdadeiro.