Determine quais itens são verdadeiros e quais itens são falsos, justificando sua resposta.
O conjunto W=\left\{A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M(2,2): A^{t}=A\right\} é subespaço de M(2,2).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\left\{A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M(2,2)\;:\;A^{t}=A\right\}.
A pergunta é: o conjunto W é um subespaço de M(2,2)? Vou assumir que M(2,2) é o espaço das matrizes 2\times2 sobre \mathbb{R} (campo padrão). As informações relevantes são:
  • W contém todas as matrizes quadradas 2\times2 que são iguais à sua transposta.
  • Preciso decidir verdadeiro ou falso e justificar.]

Passo 2

Lembrete didático: para mostrar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço, basta verificar três coisas simples (é uma forma mínima e prática):
  1. W não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero).
  2. W é fechado em relação à soma: se A,B\in W então A+B\in W.
  3. W é fechado em relação à multiplicação por escalar: se A\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda A\in W.
Vou explicar o porquê: um subespaço precisa conter combinações lineares arbitrárias \alpha A+\beta B; checando fechamento por soma e por escalar garantimos isso. Não é preciso testar todas as combinações separadamente.

Passo 3

Verificação do item 1 (não vazio / contém zero).
A matriz zero
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz 0^{t}=0. Portanto 0\in W. Assim W não é vazio. (Esse passo garante que existe pelo menos um elemento — muito importante.)]

Passo 4

Verificação do item 2 (fechamento pela soma).
Sejam A,B\in W. Por definição de W temos A^{t}=A e B^{t}=B. Use a propriedade básica da transposta: para quaisquer matrizes X,Y com mesma ordem,
(X+Y)^{t}=X^{t}+Y^{t}.
Aplicando-a,
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=A+B.
Então A+B também é igual à sua transposta, logo A+B\in W. Portanto W é fechado por soma.

Passo 5

Verificação do item 3 (fechamento por multiplicação escalar).
Seja A\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Use a propriedade da transposta com escalares:
(\lambda A)^{t}=\lambda A^{t}.
Como A^{t}=A, segue
(\lambda A)^{t}=\lambda A.
Assim \lambda A\in W. Logo W é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão: W contém o vetor zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Portanto W é subespaço de M(2,2). (Resumo intuitivo: a operação “transposta” é linear, e o conjunto de pontos fixos de um operador linear é um subespaço — aqui a transposição é linear e os fixos são exatamente as matrizes simétricas.)

Passo 7

Observação extra (útil para a prova): toda matriz simétrica 2\times2 tem a forma
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & d\end{pmatrix},
ou seja, é determinada por três parâmetros a,b,d. Assim \dim W=3. Uma base conveniente é, por exemplo,
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12}+E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso confirma de forma concreta que W é um subespaço de dimensão 3.]

Resposta

Verdadeiro.

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