Determine nos itens a seguir se os pontos A, B e C são colineares.
(a) A=(1,2,3), B=(2,2,2), C=(3,4,4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos
A=(1,2,3), B=(2,2,2), C=(3,4,4)
são colineares em R^3. Para isso vamos usar o critério vetorial: A,B,C são colineares se, e somente se, os vetores AB e AC forem dependentes lineares (isto é, múltiplos um do outro), ou equivalentemente se o produto vetorial for o vetor nulo.

Passo 2

Calculemos
AB=B-A=(2-1,;2-2,;2-3)=(1,0,-1),
AC=C-A=(3-1,;4-2,;4-3)=(2,2,1)
Para ver se AC=lambda,AB basta comparar componentes:
pela primeira componente teríamos lambda=2, mas pela segunda isso exigiria 2=lambdacdot0=0, o que é impossível. Logo não há lambda que satisfaça todas as igualdades simultaneamente. Alternativamente, o produto vetorial
ABtimesAC = i&j&k 1&0&-1 2&2&1 =i(0cdot1-(-1)cdot2)-j(1cdot1-(-1)cdot2)+k(1cdot2-0cdot2) =(2),i-(3),j+(2),kneq0
Como nem dependem linearmente nem o produto vetorial é nulo, os três pontos não são colineares.

Resposta

Os pontos A, B e C não são colineares.

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