Encontre uma expansão em série de potências em torno de x=0 para solução geral da equação diferencial. A resposta deve conter a fórmula geral para os coeficientes
-y^prime prime-x y^prime+4 y=0

Passo 1

Queremos resolver a equação diferencial
-y'' - x,y' + 4y = 0
por séries de potências centradas em x=0. Isso é típico do método da série de Frobenius (aqui com expoente 0), em que assumimos
y(x) = sumn=0^infty an,x^n,
com a0 e a1 constantes arbitrárias que gerarão as duas soluções independentes.

Passo 2

Calculamos as derivadas term-a-termo:
y'(x) = sumn=1^infty n,an,x^n-1, y''(x) = sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2
Substituímos na equação original (e multiplicamos por -1 para simplificar o sinal):
y'' + x,y' - 4y = 0
Logo,
sumn=2^infty n(n-1)an,x^n-2 + xsumn=1^infty n,an,x^n-1 -4sumn=0^infty an,x^n =0

Passo 3

Reescrevendo todas as somas como potências x^m, façamos a mudança de índice m=n-2 na primeira soma e m=n nas outras:
summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2,x^m +summ=0^inftym,am,x^m -4summ=0^inftyam,x^m =0
Agrupando coeficientes de x^m em cada m>=0, obtemos
(m+2)(m+1)am+2 +l(m-4r)am =0

Passo 4

Dessa relação segue o recorrência para m>=0:
am+2 = 4 - m(m+2)(m+1),am
Como é uma recorrência de passo 2, temos duas constantes livres a0 e a1, gerando as soluções pares e ímpares.

Passo 5

Escrevendo explicitamente os coeficientes em função de a0 e a1:
  • Para k>=1,
a2k = a0prodj=0^k-14-2j(2j+2)(2j+1), a2k+1 = a1prodj=0^k-14-(2j+1)(2j+3)(2j+2)
Logo a solução geral é
y(x) = a0sumk=0^inftyl[prodj=0^k-14-2j(2j+2)(2j+1)r]x^2k + a1sumk=0^inftyl[prodj=0^k-13-2j(2j+3)(2j+2)r]x^2k+1

Resposta

A relação de recorrência é
boxedan+2=4 - n(n+2)(n+1),an, n>=0,
com a0 e a1 livres, e a solução geral dada pelas séries pares e ímpares acima.

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