Encontre uma expansão em série de potências em torno de
para solução geral da equação diferencial. A resposta deve conter a fórmula geral para os coeficientes
Passo 1
Queremos resolver a equação diferencial
por séries de potências centradas em
. Isso é típico do método da série de Frobenius (aqui com expoente
), em que assumimos
com
e
constantes arbitrárias que gerarão as duas soluções independentes.
Passo 2
Calculamos as derivadas term-a-termo:
Substituímos na equação original (e multiplicamos por
para simplificar o sinal):
Logo,
Passo 3
Reescrevendo todas as somas como potências
, façamos a mudança de índice
na primeira soma e
nas outras:
Agrupando coeficientes de
em cada
, obtemos
Passo 4
Dessa relação segue o recorrência para
:
Como é uma recorrência de passo
, temos duas constantes livres
e
, gerando as soluções pares e ímpares.
Passo 5
Escrevendo explicitamente os coeficientes em função de
e
:
- Para
,
Logo a solução geral é
Resposta
A relação de recorrência é
com
e
livres, e a solução geral dada pelas séries pares e ímpares acima.