Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
y=1x raiz1-(ln x)^2, y=3x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as áreas das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Esse tipo de problema está na área de Cálculo Integral, especificamente no cálculo de áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar os gráficos das curvas, encontrar os pontos onde elas se cruzam (para saber os limites da área) e, finalmente, usar integrais definidas para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas para visualizar melhor o que estamos lidando. As curvas dadas são:
  1. $ y = \frac{1}{x \sqrt{1 - (\ln x)^2}} $
  2. $ y = \frac{3}{x} $
Vamos analisar cada uma:
  • Curva 1: $ y = \frac{1}{x \sqrt{1 - (\ln x)^2}} $
    • O denominador tem $ \sqrt{1 - (\ln x)^2} $, o que significa que a expressão dentro da raiz deve ser positiva: $ 1 - (\ln x)^2 > 0 $. Assim, $ (\ln x)^2 < 1 $ ou seja, $ -1 < \ln x < 1 $. Isso implica que $ e^{-1} < x < e^{1} $ (já que $ e $ é a base do logaritmo natural).
    • Portanto, essa função está definida apenas para $ x $ entre $ e^{-1} $ e $ e^{1} $.
  • Curva 2: $ y = \frac{3}{x} $
    • Essa é uma hipérbole simples, definida para $ x > 0 $.
Com base nisso, podemos esboçar as duas curvas no intervalo $ e^{-1} < x < e^{1} $.

Passo 3

Agora que temos os gráficos, o próximo passo é encontrar os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites de integração. Isso acontece quando:
1x raiz1 - (ln x)^2 = 3x
Simplificando a equação:
1raiz1 - (ln x)^2 = 3
Agora, resolvemos para $ x $:
x
Então,
raiz1 - (ln x)^2 = 13 1 - (ln x)^2 = 19 (ln x)^2 = 1 - 19 (ln x)^2 = 89 ln x = pm 2raiz23
Esses são os pontos onde as duas curvas se encontram.

Passo 4

Com os limites de integração determinados, podemos agora montar as integrais definidas para calcular as áreas das regiões delimitadas pelas curvas. A área entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $ no intervalo $ [a, b] $ é dada por:
y = f(x)
No nosso caso, $ f(x) = \frac{3}{x} $ e $ g(x) = \frac{1}{x \sqrt{1 - (\ln x)^2}} $, e os limites de integração são $ x = e^{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} $ e $ x = e^{\frac{2\sqrt{2}}{3}} $.
Portanto, a integral definida que representa a área é:
y = g(x)

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. Observe que ambas as funções têm $ \frac{1}{x} $ como fator comum, então podemos simplificar a integral:
1x
Vamos resolver cada parte separadamente.
  1. Primeira integral:
A = integrale^-2raiz23^e^2raiz23 3x , dx - integrale^-2raiz23^e^2raiz23 1x raiz1 - (ln x)^2 , dx
  1. Segunda integral:
Para resolver $ \int \frac{1}{x \sqrt{1 - (\ln x)^2}} , dx $, fazemos uma substituição:
Seja $ u = \ln x $, então $ du = \frac{1}{x} dx $.
A integral se torna:
integral 3x , dx = 3 ln |x| + C
Agora, aplicamos os limites de integração:
integral 1x raiz1 - (ln x)^2 , dx
Calculando cada parte:
  • Para $ 3 \ln x $:
u = ln x ç
  • Para $ \arcsin (\ln x) $:
du = 1x dx ç
Portanto, a área $ A $ é:
integral 1raiz1 - u^2 , du = arcsin u + C = arcsin (ln x) + C

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas dadas é $ 4\sqrt{2} - 2 \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) $ unidades quadradas.

Exercícios relacionados