Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas esferoidais oblatas:
Corresponde a uma rotação do sistema de coordenadas elíptico em torno do eixo não-focal da elipse, isto é, o eixo de simetria que separa os focos da elipse. Neste caso, os dois focos são transformados em um anel de raio x & =a cosh (u) cos (v) cos (w) y & =a cosh (u) cos (v) sin (w) z & =a sinh (u) sin (v) no plano a ( x-y e a são os focos da elipse). Para este sistema de coordenadas -a, u >= 0 e -pi2 <= v <= pi2.
Observe que o planeta Terra é aproximadamente um esferóide oblato, de forma que este sistema de coordenadas algumas vezes pode ser mais conveniente para identificar pontos na superfície do planeta que as coordenadas esféricas. (Superfícies com variável u constante correspondem a esferóides oblatos). https://en.wikipedia.org/wiki/Oblate_spheroidal_coordinates

Passo 1

O enunciado pede para achar o Jacobiano da transformação de coordenadas esferoidais oblatas dada por
x = acosh ucos vcos w, y = acosh ucos vsin w, z = asinh usin v
Aqui o conteúdo é o Jacobiano de uma mudança de variáveis de (u,v,w) para (x,y,z). Vamos usar definição: Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais ∂(x,y,z)/∂(u,v,w).

Passo 2

Agora calculamos todas as derivadas parciais em relação a u, v, w:
∂x∂u &= asinh ucos vcos w, &∂x∂v &= -acosh usin vcos w, &∂x∂w &= -acosh ucos vsin w, ∂y∂u &= asinh ucos vsin w, &∂y∂v &= -acosh usin vsin w, &∂y∂w &= acosh ucos vcos w, ∂z∂u &= acosh usin v, &∂z∂v &= asinh ucos v, &∂z∂w &= 0

Passo 3

Montamos a matriz Jacobiana Jij=∂(xi)/∂(qj) e fatoramos a de cada linha (total de a^3):
J = a^3 sinh ucos vcos w & -cosh usin vcos w & -cosh ucos vsin w sinh ucos vsin w & -cosh usin vsin w & cosh ucos vcos w cosh usin v & sinh ucos v & 0

Passo 4

Para calcular o determinante, expandimos pela terceira coluna. Depois de agrupar fatores, obtemos o fator comum
sinh^2ucos^2v + cosh^2usin^2v
e a soma sin^2w+cos^2w=1. Assim chegamos a
det(J)= -a^3,cosh ucos vl(sinh^2ucos^2v + cosh^2usin^2vr)

Passo 5

Usamos a identidade hiperbólica-trigonométrica
sinh^2ucos^2v + cosh^2usin^2v = sinh^2u + sin^2v
para simplificar. O sinal negativo indica orientação, mas o Jacobiano em valor absoluto (usado em integrais) é
|det(J)| = a^3,cosh ucos vl(sinh^2u + sin^2vr)

Resposta

J = a^3,cosh u,cos v,(sinh^2u + sin^2v).

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