Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas esferoidais oblatas:
Corresponde a uma rotação do sistema de coordenadas elíptico em torno do eixo não-focal da elipse, isto é, o eixo de simetria que separa os focos da elipse. Neste caso, os dois focos são transformados em um anel de raio no plano ( e são os focos da elipse). Para este sistema de coordenadas , e .
Observe que o planeta Terra é aproximadamente um esferóide oblato, de forma que este sistema de coordenadas algumas vezes pode ser mais conveniente para identificar pontos na superfície do planeta que as coordenadas esféricas. (Superfícies com variável u constante correspondem a esferóides oblatos). https://en.wikipedia.org/wiki/Oblate_spheroidal_coordinates
Passo 1
O enunciado pede para achar o Jacobiano da transformação de coordenadas esferoidais oblatas dada por
Aqui o conteúdo é o Jacobiano de uma mudança de variáveis de (u,v,w) para (x,y,z). Vamos usar definição: Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais .
Passo 2
Agora calculamos todas as derivadas parciais em relação a :
Passo 3
Montamos a matriz Jacobiana e fatoramos de cada linha (total de ):
Passo 4
Para calcular o determinante, expandimos pela terceira coluna. Depois de agrupar fatores, obtemos o fator comum