Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas esferoidais prolatas:
Corresponde a uma rotação do sistema de coordenadas elíptico em torno do eixo focal da elipse, isto é, o eixo de simetria que contém os focos x & =a sinh (u) sin (v) cos (w), y & =a sinh (u) sin (v) sin (w), z & =a cosh (u) cos (v) e a da elipse. Para este sistema de coordenadas -a, u >= 0 e 0 <= v <= pi.
https://en.wikipedia.org/wiki/Prolate_spheroidal_coordinates

Passo 1

O enunciado pede o Jacobiano da transformação de coordenadas esferoidais prolatas
que leva
$ (u,v,w) \mapsto (x,y,z) $ com
(u,v,w) mapsto (x,y,z)
x = asinh(u)sin(v)cos(w),
y = asinh(u)sin(v)sin(w),
Isso envolve o cálculo do determinante da matriz das derivadas parciais (Jacobianna), material de Cálculo em várias variáveis.

Passo 2

Para montar a matriz Jacobiana, calculamos cada derivada parcial. Definindo
S=sinh(u)sin(v), obtemos:
partial xpartial u=acosh(u)sin(v)cos(w), partial xpartial v=asinh(u)cos(v)cos(w), partial xpartial w=-asinh(u)sin(v)sin(w),
partial ypartial u=acosh(u)sin(v)sin(w), partial ypartial v=asinh(u)cos(v)sin(w), partial ypartial w=asinh(u)sin(v)cos(w),
partial zpartial u=asinh(u)cos(v), partial zpartial v=-acosh(u)sin(v), partial zpartial w=0
Em forma matricial:
M= partial x/partial u & partial x/partial v & partial x/partial w partial y/partial u & partial y/partial v & partial y/partial w partial z/partial u & partial z/partial v & partial z/partial w

Passo 3

Para calcular det M, fatoramos a de cada linha, extraindo a^3, e expandimos usando a terceira linha. O resultado intermediário é
det M = a^3l[sinh(u)sin(v)l(sinh^2(u)cos^2(v)+cosh^2(u)sin^2(v)r)r]

Passo 4

Usando a identidade sinh^2(u)=cosh^2(u)-1 e cos^2(v)+sin^2(v)=1, simplificamos
sinh^2(u)cos^2(v)+cosh^2(u)sin^2(v) =l(cosh^2(u)-1r)cos^2(v)+cosh^2(u)sin^2(v) =cosh^2(u)-cos^2(v)
Portanto a expressão final do determinante fica com

Passo 5

final_answer":"$J = a3,\sinh(u),\sin(v),\bigl(\cosh2(u)-\cos^2(v)\bigr).$"}

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