Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas esferoidais prolatas:
Corresponde a uma rotação do sistema de coordenadas elíptico em torno do eixo focal da elipse, isto é, o eixo de simetria que contém os focos e da elipse. Para este sistema de coordenadas , e . https://en.wikipedia.org/wiki/Prolate_spheroidal_coordinates
Passo 1
O enunciado pede o Jacobiano da transformação de coordenadas esferoidais prolatas
que leva
$ (u,v,w) \mapsto (x,y,z) $ com
Isso envolve o cálculo do determinante da matriz das derivadas parciais (Jacobianna), material de Cálculo em várias variáveis.
Passo 2
Para montar a matriz Jacobiana, calculamos cada derivada parcial. Definindo , obtemos:
Em forma matricial:
Passo 3
Para calcular det M, fatoramos a de cada linha, extraindo a^3, e expandimos usando a terceira linha. O resultado intermediário é
det M = a^3l[sinh(u)sin(v)l(sinh^2(u)cos^2(v)+cosh^2(u)sin^2(v)r)r]
Passo 4
Usando a identidade sinh^2(u)=cosh^2(u)-1 e cos^2(v)+sin^2(v)=1, simplificamos