As superfícies de Bézier são definidas parametricamente pela equação
onde
são parâmetros em um quadrado de lado
são os chamados pontos de controle e
Os pontos
e
determinam os vértices da superfície e os outros pontos determinam direções para onde a superfície é deformada. Considere uma das superfícies de Bézier mais simples que existe, dada por
. Sejam os pontos de controle
,
e
.
Escreva a superfície de Bézier
como uma função
. [Observe que
é um vetor!]
Escreva a superfície de Bézier
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função z=S(x,y) de uma superfície de Bézier com m=n=1, cujos pontos de controle são p_{00}=(0,0,z_{1}), p_{01}=(0,1,z_{2}), p_{10}=(1,0,z_{3}) e p_{11}=(1,1,z_{4}). Vamos usar a definição paramétrica de superfícies de Bézier junto com os polinômios de Bernstein.
Passo 2
Para n=1, os polinômios de Bernstein ficam bem simples. Em geral temos B_{r}{n}(u)=\frac{n!}{r!(n-r)!}u{r}(1-u)^{n-r}. Então para n=1:
Isso vale tanto para u=x quanto para u=y.
Passo 3
Agora a superfície é dada por
Substituindo os Bernstein e cada \mathbf p_{rs}:
Passo 4
Só precisamos da componente z de \mathbf S(x,y). Projetando e somando os pesos, obtemos
$$z(x,y)=(1-x)(1-y),z_{1}+(1-x)y,z_{2}+x(1-y),z_{3}+x y,z_{4}.
$$