As superfícies de Bézier são definidas parametricamente pela equação
S(x, y)=sumr=0^n sums=0^m Br^n(x) Bs^n(y) pr s,
onde u, v são parâmetros em um quadrado de lado 1, pr s são os chamados pontos de controle e
Br^n(u)=n!r!(n-r)! u^r(1-u)^n-r
Os pontos p00, p0 m, pn 0 e pn m determinam os vértices da superfície e os outros pontos determinam direções para onde a superfície é deformada. Considere uma das superfícies de Bézier mais simples que existe, dada por m=n=1. Sejam os pontos de controle p00=(0,0, z1), p01=(0,1, z2), p10=(1,0, z3) e p11=(1,1, z4).
Escreva a superfície de Bézier S(x, y) como uma função z=S(x, y). [Observe que S(x, y) é um vetor!]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função z=S(x,y) de uma superfície de Bézier com m=n=1, cujos pontos de controle são p_{00}=(0,0,z_{1}), p_{01}=(0,1,z_{2}), p_{10}=(1,0,z_{3}) e p_{11}=(1,1,z_{4}). Vamos usar a definição paramétrica de superfícies de Bézier junto com os polinômios de Bernstein.

Passo 2

Para n=1, os polinômios de Bernstein ficam bem simples. Em geral temos B_{r}{n}(u)=\frac{n!}{r!(n-r)!}u{r}(1-u)^{n-r}. Então para n=1: B0^1(u)=1-u, B1^1(u)=u Isso vale tanto para u=x quanto para u=y.

Passo 3

Agora a superfície é dada por S(x,y)=sumr=0^1sums=0^1Br^1(x),Bs^1(y), prs Substituindo os Bernstein e cada \mathbf p_{rs}:
S(x,y)=(1-x)(1-y),(0,0,z1)+(1-x)y,(0,1,z2)+x(1-y),(1,0,z3)+xy,(1,1,z4)

Passo 4

Só precisamos da componente z de \mathbf S(x,y). Projetando e somando os pesos, obtemos
$$z(x,y)=(1-x)(1-y),z_{1}+(1-x)y,z_{2}+x(1-y),z_{3}+x y,z_{4}.
$$

Resposta

z=S(x,y)=(1-x)(1-y),z1+(1-x)y,z2+x(1-y),z3+x y,z4

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