Determine o jacobiano da transformação:
x=v+w, y=w+u^2 z=u+v^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o jacobiano da transformação
x = v + w, y = w + u^2, z = u + v^2
Este problema envolve derivadas parciais e o cálculo do determinante da matriz Jacobiana
J = partial(x,y,z)partial(u,v,w).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de (x,y,z) em relação a (u,v,w) e montamos a matriz Jacobiana:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w[6pt] partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 0 & 1 & 1 2u & 0 & 1 1 & 2v & 0 ]

Passo 3

Para calcular det J usamos expansão pela primeira linha:
det J = 0cdot(0cdot0 - 1cdot2v) - 1cdot(2ucdot0 - 1cdot1) + 1cdot(2ucdot2v - 0cdot1) = 1 + 4uv

Resposta

O jacobiano é ,4uv + 1.

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