Use o Método de Variação de Parâmetros para resolver as equações
y^prime-2 y=x^2 e^2 x
R. Dada a equação diferencial:
y^prime-2 y=x^2 e^2 x,
seguimos os passos abaixo para determinar sua solução geral.
Como a equação é linear não homogênea, ela pode ser resolvida pelo método de variação de parâmetros.

1. Achamos a solução da equação homogênea associada

A equação homogênea associada é:
y^prime-2 y=0
Resolvemos pela separação de variáveis:
d yy=2 d x Rightarrow ln |y|=2 x+C Rightarrow yh=C e^2 x
em que C é uma constante arbitrária.
Portanto, a solução geral da homogênea é:
yh=C e^2 x

2. Solução particular pela variação de parâmetros

Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea variamos os parâmetro C, ou seja, assumimos que:
yp=C(x) e^2 x
em que C(x) é uma função a ser determinada. Substituímos yp na equação original:
y^prime-2 y=x^2 e^2 x
Calculamos:
yp^prime=C^prime(x) e^2 x+2 C(x) e^2 x
e substituimos em y^prime-2 y :
(C^prime(x) e^2 x+2 C(x) e^2 x)-2(C(x) e^2 x)=x^2 e^2 x

Passo 1

Resolvemos a EDO de primeira ordem linear não homogênea y'-2y=x^2e^2x usando o método de variação de parâmetros. Para isso, primeiro encontramos a solução da homogênea associada e depois buscamos uma solução particular variando a constante de integração.

Passo 2

Para a homogênea y'-2y=0 fazemos separação de variáveis:
dyy=2,dxRightarrow ln|y|=2x+CRightarrow yh=C e^2x

Passo 3

Na variação de parâmetros, supomos yp=C(x)e^2x. Calculamos a derivada
yp'=C'(x)e^2x+2C(x)e^2x
e substituímos em y'-2y=x^2e^2x:
(C'(x)e^2x+2C(x)e^2x)-2(C(x)e^2x)=x^2e^2x

Passo 4

Ao simplificar, fica
C'(x)e^2x=x^2e^2xRightarrow C'(x)=x^2
Integramos para obter
C(x)=integral x^2,dx=x^33+K
Para a particular escolhemos K=0, então C(x)=tfracx^33.

Passo 5

Assim, a solução particular é
yp=x^33e^2x
A solução geral é a soma de yh e yp:
$$y(x)=Ce{2x}+\frac{x3}{3}e{2x}=(C+\tfrac{x3}{3})e^{2x}.
$$

Resposta

y(x)=(C+tfracx^33)e^2x

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