Use o Método de Variação de Parâmetros para resolver as equações
R. Dada a equação diferencial:
seguimos os passos abaixo para determinar sua solução geral.
Como a equação é linear não homogênea, ela pode ser resolvida pelo método de variação de parâmetros.
1. Achamos a solução da equação homogênea associada
A equação homogênea associada é:
Resolvemos pela separação de variáveis:
em que
é uma constante arbitrária.
Portanto, a solução geral da homogênea é:
2. Solução particular pela variação de parâmetros
Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea variamos os parâmetro
, ou seja, assumimos que:
em que
é uma função a ser determinada. Substituímos
na equação original:
Calculamos:
e substituimos em
:
R. Dada a equação diferencial:
Como a equação é linear não homogênea, ela pode ser resolvida pelo método de variação de parâmetros.
Portanto, a solução geral da homogênea é:
Passo 1
Resolvemos a EDO de primeira ordem linear não homogênea
usando o método de variação de parâmetros. Para isso, primeiro encontramos a solução da homogênea associada e depois buscamos uma solução particular variando a constante de integração.
Passo 2
Para a homogênea
fazemos separação de variáveis:
Passo 3
Na variação de parâmetros, supomos
. Calculamos a derivada
e substituímos em
Passo 4
Ao simplificar, fica
Integramos para obter
Para a particular escolhemos
, então
.
Passo 5
Assim, a solução particular é
A solução geral é a soma de
$$y(x)=Ce{2x}+\frac{x3}{3}e{2x}=(C+\tfrac{x3}{3})e^{2x}.
$$