Encontre a solução do PVI
R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação que temos é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para equações diferenciais lineares de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial num formato mais familiar:
Comparando com a nossa equação original, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação diferencial. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Calculando a integral:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para a forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados com relação a
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Isolamos
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Quando
,
e
, então:
Resposta
A solução do PVI é: