Encontre a solução do PVI
& y^prime-tan (x) y-1cos (x)=0 & y(0)=0
R. y(x)=xcos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação que temos é:
y^prime - tan(x) , y - 1cos(x) = 0
E a condição inicial é y(0) = 0 . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para equações diferenciais lineares de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial num formato mais familiar:
y^prime + P(x) , y = Q(x)
Comparando com a nossa equação original, temos:
  • P(x) = -tan(x)
  • Q(x) = 1cos(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação diferencial. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) :
mu(x) = e^integral -tan(x) , dx

Passo 4

Calculando a integral:
Sabemos que integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C , então:
mu(x) = e^-ln|cos(x)| = 1cos(x)

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) :
1cos(x) , y^prime - tan(x)cos(x) , y = 1cos^2(x)
Isso simplifica para a forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto mu(x) , y :
ddx ( ycos(x) ) = 1cos^2(x)

Passo 6

Integramos ambos os lados com relação a x :
ycos(x) = integral 1cos^2(x) , dx + C
Sabemos que integral 1cos^2(x) , dx = tan(x) , então:
ycos(x) = tan(x) + C

Passo 7

Isolamos y :
y = cos(x) , tan(x) + C cos(x)
Sabemos que cos(x) , tan(x) = sin(x) , então:
y = sin(x) + C cos(x)

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0) = 0 para encontrar C :
Quando x = 0 , sin(0) = 0 e cos(0) = 1 , então:
0 = 0 + C times 1 Rightarrow C = 0

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = xcos(x)

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