Método da Variação de Parâmetros: Considere a equação diferencial linear geral de primeira ordem
y^prime-p(x) y=g(x)
Determine C(x) integrando a expressão anterior

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime - p(x) y = g(x)
Estamos trabalhando com o Método da Variação de Parâmetros, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. Nosso objetivo aqui é determinar C(x) integrando a expressão dada. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a identificação do fator integrante. A equação dada é:
y^prime - p(x) y = g(x)
Podemos colocá-la na forma padrão:
y^prime + P(x) y = Q(x)
onde:
  • P(x) = -p(x)
  • Q(x) = g(x)

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, usamos o fator integrante mu(x) , que é uma função que multiplica toda a equação para torná-la exata. O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = -p(x) :
mu(x) = e^integral -p(x) dx = e^ - integral p(x) dx

Passo 4

Com o fator integrante mu(x) calculado, multiplicamos toda a equação diferencial original por mu(x) :
mu(x) y^prime + mu(x) P(x) y = mu(x) Q(x)
Simplificando, temos:
ddx [mu(x) y] = mu(x) g(x)
Isso é possível porque a escolha de mu(x) faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto mu(x) y .

Passo 5

Para encontrar y , integramos ambos os lados da equação:
integral ddx [mu(x) y] dx = integral mu(x) g(x) dx
A integral da derivada do lado esquerdo simplifica para:
mu(x) y = integral mu(x) g(x) dx + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y dividindo ambos os lados por mu(x) :
y = 1mu(x) ( integral mu(x) g(x) dx + C )
Substituindo mu(x) pela expressão que encontramos antes:
y = e^integral p(x) dx ( integral e^ - integral p(x) dx g(x) dx + C )

Resposta

Portanto, a função C(x) integrada é:
C(x) = integral e^ - integral p(x) dx g(x) dx + C

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