Método da Variação de Parâmetros: Considere a equação diferencial linear geral de primeira ordem
Determine
integrando a expressão anterior
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Estamos trabalhando com o Método da Variação de Parâmetros, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. Nosso objetivo aqui é determinar
integrando a expressão dada. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a identificação do fator integrante. A equação dada é:
Podemos colocá-la na forma padrão:
onde:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, usamos o fator integrante
, que é uma função que multiplica toda a equação para torná-la exata. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante
calculado, multiplicamos toda a equação diferencial original por
:
Simplificando, temos:
Isso é possível porque a escolha de
faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto
.
Passo 5
Para encontrar
, integramos ambos os lados da equação:
A integral da derivada do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Substituindo
pela expressão que encontramos antes:
Resposta
Portanto, a função
integrada é: