Esboce o gráfico cujo volume é dado pela integral e calcule-a:
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Esboçar (descrever) o sólido cujo volume é dado pela integral
- Calcular esse volume, ou seja, avaliar a integral tripla.
Informações fornecidas (peguei tudo do próprio enunciado):
- A integral está escrita em coordenadas cilíndricas com as variáveis e limites:
-
, -
, -
.
-
- O elemento de volume aparece multiplicado por
(ou seja, o integrando é ).
Passo 2
Entendendo as variáveis e o fator
(explicação didática):
- Nas coordenadas cilíndricas as variáveis representam:
-
= distância radial ao eixo (no plano ), -
= ângulo em torno do eixo , -
= altura vertical.
-
- O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. Isso ocorre porque em coordenadas polares a pequena área é , e ao adicionar a pequena espessura obtemos volume. - Na integral dada o fator
multiplicando é exatamente esse fator do elemento de volume; portanto a integral calcula um volume físico do sólido descrito pelos limites.
Passo 3
Interpretação geométrica dos limites — descrever o sólido:
- Os limites em
são até : giro completo em torno do eixo (sólido de revolução). - Para cada
fixo (entre e ) temos variando de até . A superfície em coordenadas cilíndricas é a mesma que em coordenadas Cartesianas — é um cone reto que abre para cima, com vértice na origem. Essa superfície faz um ângulo de com o plano porque implica . - Juntando tudo: o sólido é composto por todos os pontos com
Em palavras: é a região dentro do cilindro de raio e altura (pois e ), mas com teto dado pela superfície cônica . Geometricamente isso corresponde ao cilindro de raio e altura do qual foi removido o cone central cujo interior satisfaz . Ou dito de outra maneira: em cada altura fixa (entre e ) a seção horizontal do sólido é um disco anular com raio interno e externo .
Passo 4
Esboço mental do sólido (como desenhar rapidamente na prova):
- Desenhe o eixo
vertical. - Desenhe um cilindro de raio
e altura (base no plano , topo em ). - Desenhe a superfície cônica
partindo do vértice na origem e intersectando o cilindro lateral em . Essa superfície corta o interior do cilindro formando uma “corcova”: a parte abaixo do cone (próxima à parede do cilindro) é o sólido pedido; a parte central acima do cone (próxima ao eixo) seria o cone que foi removido. - Observação útil para visualização: em uma altura intermediária
a seção transversal é um anel entre (interno) e (externo).
Passo 5
Cálculo da integral passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro integramos em
(limites a ). Como é tratado como constante em relação a , Expliquei: multiplica-se pelo comprimento do intervalo em , que é . - Agora integramos em
(limites a ). é independente de , logo Expliquei: integrar uma constante em é multiplicar pela medida do intervalor angular . - Por fim integramos em
(limites a ): Expliquei: a primitiva de é ; avalia-se entre e e multiplica-se pelo fator que estava fora da integral.
Passo 6
Verificação alternativa por argumento geométrico (checar resultado):
- Volume do cilindro de raio
e altura : - Volume do cone central (o que foi removido), com raio da base
e altura : - Volume restante =
, que confirma o resultado da integral.