Esboce o gráfico cujo volume é dado pela integral e calcule-a:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{r} r d z d \theta d r

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Esboçar (descrever) o sólido cujo volume é dado pela integral \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{r} r\, d z\, d \theta\, d r.
  • Calcular esse volume, ou seja, avaliar a integral tripla.
Informações fornecidas (peguei tudo do próprio enunciado):
  • A integral está escrita em coordenadas cilíndricas com as variáveis e limites:
    • 0 \le r \le 2,
    • 0 \le \theta \le 2\pi,
    • 0 \le z \le r.
  • O elemento de volume aparece multiplicado por r (ou seja, o integrando é r).

Passo 2

Entendendo as variáveis e o fator r (explicação didática):
  • Nas coordenadas cilíndricas as variáveis representam:
    • r = distância radial ao eixo z (no plano xy),
    • \theta = ângulo em torno do eixo z,
    • z = altura vertical.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r\, dr\, d\theta\, dz. Isso ocorre porque em coordenadas polares a pequena área é r\, dr\, d\theta, e ao adicionar a pequena espessura dz obtemos volume.
  • Na integral dada o fator r multiplicando dz\, d\theta\, dr é exatamente esse fator do elemento de volume; portanto a integral calcula um volume físico do sólido descrito pelos limites.

Passo 3

Interpretação geométrica dos limites — descrever o sólido:
  • Os limites em \theta são 0 até 2\pi: giro completo em torno do eixo z (sólido de revolução).
  • Para cada r fixo (entre 0 e 2) temos z variando de 0 até r. A superfície z=r em coordenadas cilíndricas é a mesma que z=\sqrt{x^2+y^2} em coordenadas Cartesianas — é um cone reto que abre para cima, com vértice na origem. Essa superfície faz um ângulo de 45^\circ com o plano z=0 porque z=r implica z/r=1.
  • Juntando tudo: o sólido é composto por todos os pontos com 0 \le \theta \le 2\pi,\qquad 0 \le r \le 2,\qquad 0 \le z \le r.Em palavras: é a região dentro do cilindro de raio 2 e altura 2 (pois r\le2 e z\le r\le2), mas com teto dado pela superfície cônica z=r. Geometricamente isso corresponde ao cilindro de raio 2 e altura 2 do qual foi removido o cone central cujo interior satisfaz r\le z. Ou dito de outra maneira: em cada altura z fixa (entre 0 e 2) a seção horizontal do sólido é um disco anular com raio interno r=z e externo r=2.

Passo 4

Esboço mental do sólido (como desenhar rapidamente na prova):
  • Desenhe o eixo z vertical.
  • Desenhe um cilindro de raio 2 e altura 2 (base no plano z=0, topo em z=2).
  • Desenhe a superfície cônica z=r partindo do vértice na origem e intersectando o cilindro lateral em r=2, z=2. Essa superfície corta o interior do cilindro formando uma “corcova”: a parte abaixo do cone (próxima à parede do cilindro) é o sólido pedido; a parte central acima do cone (próxima ao eixo) seria o cone que foi removido.
  • Observação útil para visualização: em uma altura intermediária z a seção transversal é um anel entre r=z (interno) e r=2 (externo).

Passo 5

Cálculo da integral passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro integramos em z (limites 0 a r). Como r é tratado como constante em relação a z, \int_{0}^{r} r\, dz = r\cdot (z)\Big|_{0}^{r} = r\cdot r = r^{2}.Expliquei: multiplica-se r pelo comprimento do intervalo em z, que é r-0=r.
  • Agora integramos em \theta (limites 0 a 2\pi). r^{2} é independente de \theta, logo \int_{0}^{2\pi} r^{2}\, d\theta = r^{2}\cdot \bigl(\theta\bigr)\Big|_{0}^{2\pi} = r^{2}\cdot 2\pi = 2\pi r^{2}.Expliquei: integrar uma constante em \theta é multiplicar pela medida do intervalor angular 2\pi.
  • Por fim integramos em r (limites 0 a 2): \int_{0}^{2} 2\pi r^{2}\, dr = 2\pi \int_{0}^{2} r^{2}\, dr = 2\pi \cdot \left(\frac{r^{3}}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} = 2\pi \cdot \frac{2^{3}}{3} = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}.Expliquei: a primitiva de r^{2} é r^{3}/3; avalia-se entre 0 e 2 e multiplica-se pelo fator 2\pi que estava fora da integral.

Passo 6

Verificação alternativa por argumento geométrico (checar resultado):
  • Volume do cilindro de raio 2 e altura 2: V_{\text{cil}} = \pi \cdot 2^{2} \cdot 2 = 8\pi.
  • Volume do cone central (o que foi removido), com raio da base 2 e altura 2: V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 2^{2} \cdot 2 = \frac{8\pi}{3}.
  • Volume restante = V_{\text{cil}} - V_{\text{cone}} = 8\pi - \dfrac{8\pi}{3} = \dfrac{16\pi}{3}, que confirma o resultado da integral.

Resposta

\dfrac{16\pi}{3}

Exercícios relacionados