Determine o jacobiano das transformações abaixo.
x=r \cos (t) e y=r \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz jacobiana da transformação de coordenadas polares (r,t) para cartesianas (x,y), onde
x = r\cos(t), \quad y = r\sin(t).
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e uso da definição
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial t}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{pmatrix}.]

Passo 2

Calculamos cada derivada parcial:
\frac{\partial x}{\partial r} = \cos(t), \quad \frac{\partial x}{\partial t} = -\,r\sin(t),
\frac{\partial y}{\partial r} = \sin(t), \quad \frac{\partial y}{\partial t} = r\cos(t).

Passo 3

Montamos a matriz jacobiana e calculamos o determinante:
J = \det\begin{pmatrix} \cos(t) & -r\sin(t)\\[6pt] \sin(t) & r\cos(t) \end{pmatrix} = \cos(t)\cdot\bigl(r\cos(t)\bigr)\;-\;\bigl(-r\sin(t)\bigr)\cdot\sin(t).
Isso dá
J = r\cos^2(t) + r\sin^2(t) = r\bigl(\cos^2(t)+\sin^2(t)\bigr) = r.]

Resposta

O jacobiano da transformação é r.

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