Questão 25

Seja R a região do espaço dado por 0 \leq x-y+z \leq 1,1 \leq x+y-z \leq 2 e 0 \leq z \leq 1. Calcule:
I=\iiint_{R} \frac{e^{x-y+z}}{x+y-z} d x d y d z
Mediante a transformação u=x-y+z, v=x+y-z e w=z.
“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original”
(Einstein)

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
I=\iiint_{R}\frac{e^{x-y+z}}{x+y-z}\,dx\,dy\,dz
sobre a região
0 \le x - y + z \le 1,\quad 1 \le x + y - z \le 2,\quad 0 \le z \le 1,
usando a mudança de variáveis
u = x - y + z,\quad v = x + y - z,\quad w = z.
Vamos inverter essa transformação, calcular o jacobiano e reescrever a integral em termos de u,v,w.

Passo 2

Invertendo
u = x - y + w,\quad v = x + y - w,\quad w = z,
somamos u+v para achar x:
u+v = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{u+v}{2}.
Subtraindo u de v obtemos
v - u = 2(y - w)\quad\Longrightarrow\quad y = w + \frac{v-u}{2},
e z = w.
Em u,v,w, os limites ficam
0 \le u \le 1,\quad 1 \le v \le 2,\quad 0 \le w \le 1.

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z):
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \det \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & 0\\\\ -\tfrac12 & \tfrac12 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac12.
Logo
dx\,dy\,dz = \frac12\,du\,dv\,dw.

Passo 4

No integrando temos
x - y + z = u, \quad x + y - z = v,
portanto
\frac{e^{x-y+z}}{x+y-z} = \frac{e^{u}}{v}.
Assim
I = \int_{u=0}^{1}\int_{v=1}^{2}\int_{w=0}^{1} \frac{e^{u}}{v}\,\frac12\,dw\,dv\,du.

Passo 5

A integral em w dá fator 1, então
I = \frac12 \Bigl(\int_{0}^{1}e^{u}\,du\Bigr) \Bigl(\int_{1}^{2}\frac{dv}{v}\Bigr) = \frac12\,(e-1)\,\ln 2.

Resposta

I = \frac{(e - 1)\,\ln 2}{2}.

Exercícios relacionados