Determine o jacobiano das transformações abaixo.
x=2 u-v e y=4 u-v

Passo 1

O enunciado dá a transformação de variáveis (u,v)\mapsto(x,y) definida por
x = 2u - v,
y = 4u - v.
O conteúdo é cálculo do determinante jacobiano, que usamos para mudanças de variáveis em integrais duplas. Para resolver, precisamos lembrar que o jacobiano J é
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\\ \[6pt \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
\frac{\partial x}{\partial u} = 2, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -1,
\frac{\partial y}{\partial u} = 4, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = -1.

Passo 3

Substituindo essas derivadas na fórmula do jacobiano, temos
J = \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\\ \[4pt 4 & -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-1) ; - ; (-1) \cdot 4 = -2 + 4 = 2.]

Resposta

O jacobiano da transformação é 2.

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