Questão 14

Calcule
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V
onde E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede
\iiint_{E}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dV,
onde E é a região entre as esferas de raios 1 e 2, ou seja,
E=\{(x,y,z)\mid 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4\}.
O conteúdo aqui é o uso de coordenadas esféricas para calcular integrais triplas em regiões esféricas.

Passo 2

Troca para coordenadas esféricas:
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,
com
dV = r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = r.
Na região E temos
1\le r\le2,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Substituindo na integral e separando as variáveis, obtemos
\iiint_{E}r\;dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi}\!\int_{r=1}^{2} r\bigl(r^{2}\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta =\Bigl(\int_{1}^{2}r^{3}dr\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr).

Passo 4

Calculemos cada fator:
\int_{1}^{2}r^{3}dr =\Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{16-1}{4} =\frac{15}{4},
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} =2,
\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi.

Passo 5

Multiplicando os três resultados:
\frac{15}{4}\times 2\times 2\pi =\frac{15}{4}\times4\pi =15\pi.

Resposta

15\pi

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