Resolva:
y^{\prime}=\frac{x^{2}}{y\left(1+x^{3}\right)}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = \frac{x^{2}}{y\,(1+x^{3})},
com a condição inicial y(0)=1.
O conteúdo é resolução de equações diferenciais separáveis; vamos separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{y\,(1+x^{3})}.
Multiplicando ambos os lados por y e colocando dx do outro lado, obtemos a forma separável
y\,dy = \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int y\,dy = \int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.
No lado esquerdo
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
No lado direito, fazemos u=1+x^{3}, du=3x^{2}\,dx, de modo que
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr) + C.
Então a solução implícita é
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr) + C.

Passo 4

Multiplicando por 2 e chamando C' = 2C, fica
y^{2} = \frac{2}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr) + C'.
Aplicando y(0)=1:
1^{2} = \frac{2}{3}\ln(1+0^{3}) + C' \quad\Rightarrow\quad 1 = 0 + C' \quad\Rightarrow\quad C' = 1.
Portanto
y^{2} = 1 + \frac{2}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr).

Passo 5

Para obter y, tiramos raiz quadrada. Como y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo:
y(x) = \sqrt{\,1 + \frac{2}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr)\,}.

Resposta

y(x) = \sqrt{1 + \frac{2}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr)}.

Exercícios relacionados