Q. 1(3,0). Escreva a definição de limite, no ponto x=a, para a função f. Em seguida, mostre pela definição que lim x 5 x^2=25.
Dizemos que o limite da função f(x), quando x tende a a, é igual ao número real L, se qualquer que seja varepsilon>0 existe um de<a>0, tal que para todo x, satisfazendo 0<|x-a|<de<a, vale |f(x)-a|<varepsilon. Simbolicamente escrevemos:
lim x a f(x)=L Leftrightarrow forall varepsilon>0, exists de<a>0 ; 0<|x-a|<de<a Rightarrow|f(x)-a|<varepsilon
Para mostrarmos que lim x 5 x^2=25, precisamos mostrar que forall varepsilon>0, exists de<a>0 ; 0<|x-5|<de<a Rightarrow|x^2-25|<varepsilon. Para tanto, observemos que:
|x^2-25|=|(x-5)(x+5)|=|x-5| cdot|x+5|
Como 0<|x-5|<de<a, restringindo de<a entre 0 e 1 , temos que 0<|x-5|<1, donde -1<x-5<1, ou seja, 9<x+5<11. Assim, temos que |x+5|<11. Logo,
|x^2-25|=|(x-5)(x+5)|=|x-5| cdot|x+5|<de<a cdot 11
Portanto, assumindo de<a=min 1, varepsilon11, mostramos o limite:
forall varepsilon>0, exists de<a>0 ; 0<|x-5|<de<a Rightarrow|x^2-25| & =|x-5| cdot|x+5| & <de<a cdot 11=varepsilon11 cdot 11 & <varepsilon

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: ( 1) escrever a definição formal de limite de uma função no ponto x=a e ( 2) usar essa definição para mostrar que
limxto5x^2=25
O conteúdo é a prova epsilon de<a de limite, em que a gente precisa, dado um varepsilon>0, encontrar um de<a>0 que garanta l|f(x)-Lr|<varepsilon sempre que 0<|x-a|<de<a.

Passo 2

Escrevemos a definição de limite no ponto x=a. Dizemos que
limxto af(x)=L
se, e somente se,
forall varepsilon>0,;exists de<a>0;tal que;0<|x-a|<de<a;Longrightarrow;|f(x)-L|<varepsilon

Passo 3

Para o caso f(x)=x^2, a=5 e L=25, fixamos um varepsilon>0 qualquer e queremos de<a>0 tal que
0<|x-5|<de<aLongrightarrowl|x^2-25r|<varepsilon
Note que
l|x^2-25r| = |x-5|;|;x+5;|
Precisamos então controlar o fator |x+5|.

Passo 4

Vamos restringir de<a<=1. Se 0<|x-5|<de<a<=1 então |x-5|<1, o que implica
4<x<6 Longrightarrow 9 < x+5 < 11 Longrightarrow |x+5|<11
Logo, sob essa restrição,
l|x^2-25r| = |x-5|;|x+5| < 11,|x-5|

Passo 5

Para garantir 11,|x-5|<varepsilon basta exigir |x-5|<varepsilon/11. Assim escolhemos
de<a = minl1,;varepsilon/11r
Dessa forma, sempre que 0<|x-5|<de<a teremos
l|x^2-25r| < 11,|x-5| <= 11;varepsilon11 = varepsilon
Isso completa a prova de que limxto5x^2=25.

Resposta

Definição de limite:
limxto af(x)=L Long<=ftrightarrow forall varepsilon>0,;exists de<a>0:;0<|x-a|<de<aimplies|f(x)-L|<varepsilon
Para limxto5x^2=25, basta tomar
de<a=min1,;varepsilon/11,
pois então
|x^2-25|=|x-5||x+5|<11,|x-5|<varepsilon

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