Determine, justificando, se existem os limites seguintes:
lim x 1 arcsin (1-raizx1-x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1arcsinl(1-raizx1-xr).
O conteúdo envolve simplificação de expressão algébrica para então aplicar a continuidade de arcsin. Vamos primeiro simplificar o argumento interno da função.

Passo 2

Para simplificar 1-raizx1-x, note que
1 - x = (1-raizx)(1+raizx)
Logo,
1-raizx1-x = 1-raizx(1-raizx)(1+raizx) = 11+raizx

Passo 3

Com isso, o limite interno fica
limxto11-raizx1-x = limxto111+raizx = 11+1 = tfrac12

Passo 4

A função arcsin é contínua em todo intervalo interno de [-1,1]. Como tfrac12 está nesse domínio, podemos passar o limite para dentro:
limxto1arcsinl(1-raizx1-xr) = arcsinl(limxto11-raizx1-xr) = arcsinl(tfrac12r)
E sabemos que arcsin(tfrac12)=tfracpi6.

Resposta

pi6

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