(1,0) Sejam
e
, tal que
. Prove que
Sugestão: Utilize a função auxiliar
, dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
e
,
tal que
vale a desigualdade de Young
Para isso, vamos usar a função auxiliar
e explorar sua convexidade e valor mínimo.
Passo 2
Estudamos
. Calculamos as derivadas:
Como
,
é convexa e o único ponto crítico vem de
.
O valor de em
é
O valor de
Logo, por convexidade,
Passo 3
Para relacionar
e
, escolhemos
Então
e
dá
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Como
, temos
e também
. Logo
Passo 4
Bastará agora multiplicar por
para concluir: