(1,0) Sejam a, b in R^+, p in(1,+infty) e q in R, tal que 1p+1q=1. Prove que
a b <= a^pp+b^qq
Sugestão: Utilize a função auxiliar f:[0,+infty) R, dada por f(x)=x^pp+1q-x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,binR^+ e pin(1,+infty), q tal que
1p+1q=1,
vale a desigualdade de Young
ab<=a^pp+b^qq
Para isso, vamos usar a função auxiliar
f(x)=x^pp+1q-x, x>=0,
e explorar sua convexidade e valor mínimo.

Passo 2

Estudamos f. Calculamos as derivadas:
f'(x)=x^p-1-1, f''(x)=(p-1)x^p-2>0(para x>0)
Como f''(x)>0, f é convexa e o único ponto crítico vem de f'(x)=0Rightarrow x=1.
O valor de f em x=1 é
f(1)=1^pp+1q-1 =1p+1q-1=0
Logo, por convexidade,
f(x)>=0 forall x>=0

Passo 3

Para relacionar a e b, escolhemos
x=ab^,q-1
Então x>=0 e f(x)>=0
1p,a^pb^(q-1)p +1q -ab^,q-1 ;>=;0
Multiplicando ambos os lados por b^,q-1 obtemos
a^pp,b^(q-1)(p-1)+b^,q-1q-a>=0
Como (q-1)(p-1)=1, temos b^(q-1)(p-1)=b e também
tfracb^,q-1q=tfracb^qq,b. Logo
a^pp,b+b^qq,b-a>=0

Passo 4

Bastará agora multiplicar por b>0 para concluir:
a^pp+b^qq-ab>=0 Longrightarrow ab<=a^pp+b^qq

Resposta

ab<=a^pp+b^qq

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