Questão 4(2,5pt): Considere o sistema massa-mola sujeito a um termo forçante que é descrito pela equação
x^prime prime+16 x=-8 sen(4 t)
a) Encontre a solução geral da EDO acima.
b) Resolva o PVI para x(0)=3 e x^prime(0)=5.
c) No caso da solução em b) existe algum instante no qual a massa ocupa a posição x=100 ? (Procure pensar no gráfico da solução obtida.)
d) Indique, sem calcular os coeficientes, a forma de uma solução particular da EDOLÑH
x^prime prime+16 x=e^-3 t+5 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
x'' + 16,x = -8sin(4t)
(a) encontrando a solução geral, (b) impondo x(0)=3 e x'(0)=5, (c) verificando se x=100 ocorre em algum instante, e (d) indicando a forma de uma solução particular quando a forçante é e^-3t+5t. Vamos usar o método da soma das soluções homogênea e particular (MCD e coeficientes a determinar).

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
x'' + 16,x = 0
a equação característica é
r^2 + 16 = 0 Longrightarrow r = pm 4,i
Logo a solução homogênea é
xh(t) = Acos(4t) + Bsin(4t)

Passo 3

Para obter uma solução particular de
x'' + 16,x = -8sin(4t)
vemos que a frequência da forçante é 4, igual à natural, há ressonância. Então tentamos
xp(t) = tl(Pcos(4t) + Qsin(4t)r)
Substituindo na EDO e igualando coeficientes, encontra-se
P = 1, Q = 0,
logo
xp(t) = tcos(4t)

Passo 4

A solução geral da EDO não-homogênea é
x(t) = Acos(4t) + Bsin(4t) + tcos(4t)

Passo 5

Impondo as condições iniciais x(0)=3 e x'(0)=5:
1. x(0)=A + 0 + 0 = 3 \quad\Longrightarrow\quad A=3.
2. Calculando
x'(t) = -4Asin(4t) + 4Bcos(4t) + cos(4t) - 4tsin(4t),
então em t=0:
x'(0) = 0 + 4B + 1 = 5 Longrightarrow 4B = 4 Longrightarrow B=1
Portanto, a solução do PVI é
x(t) = 3cos(4t) + sin(4t) + tcos(4t)

Passo 6

Para verificar se existe t tal que x(t)=100, note que o termo tcos(4t) faz a amplitude crescer linearmente. O envelope é
raizl(t+3r)^2 + 1,,
que ultrapassa 100 para tapprox 97. Assim, existe sim pelo menos um instante em que x(t)=100.

Passo 7

Para a EDO
x'' + 16,x = e^-3t + 5t
não há ressonância com e^-3t nem com o polinômio de grau 1. Logo uma forma adequada de solução particular é
xp(t) = C e^-3t + D,t + E,
onde C,D,E são coeficientes a determinar.

Resposta

(a) x(t)=Acos(4t)+Bsin(4t)+tcos(4t).
(b) x(t)=3cos(4t)+sin(4t)+tcos(4t).
(c) Sim, para tempos suficientemente grandes (ex.: tapprox97) x(t) atinge 100.
(d) xp(t)=C,e^-3t+D,t+E.

Exercícios relacionados