Questão 4(2,5pt): Considere o sistema massa-mola sujeito a um termo forçante que é descrito pela equação
a) Encontre a solução geral da EDO acima.
b) Resolva o PVI para
e
.
c) No caso da solução em b) existe algum instante no qual a massa ocupa a posição
? (Procure pensar no gráfico da solução obtida.)
d) Indique, sem calcular os coeficientes, a forma de uma solução particular da EDOLÑH
b) Resolva o PVI para
c) No caso da solução em b) existe algum instante no qual a massa ocupa a posição
d) Indique, sem calcular os coeficientes, a forma de uma solução particular da EDOLÑH
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
(a) encontrando a solução geral, (b) impondo
e
, (c) verificando se
ocorre em algum instante, e (d) indicando a forma de uma solução particular quando a forçante é
. Vamos usar o método da soma das soluções homogênea e particular (MCD e coeficientes a determinar).
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea
a equação característica é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para obter uma solução particular de
vemos que a frequência da forçante é
, igual à natural, há ressonância. Então tentamos
Substituindo na EDO e igualando coeficientes, encontra-se
logo
Passo 4
A solução geral da EDO não-homogênea é
Passo 5
Impondo as condições iniciais
e
:
.
\quad\Longrightarrow\quad
.
. Calculando
então em
:
Portanto, a solução do PVI é
Passo 6
Para verificar se existe
tal que
, note que o termo
faz a amplitude crescer linearmente. O envelope é
que ultrapassa
para
. Assim, existe sim pelo menos um instante em que
.
Passo 7
Para a EDO
não há ressonância com
nem com o polinômio de grau
. Logo uma forma adequada de solução particular é
onde
são coeficientes a determinar.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Sim, para tempos suficientemente grandes (ex.: )
atinge
.
(d) .
(b)
(c) Sim, para tempos suficientemente grandes (ex.:
(d)