Determine, justificando, se existem os limites seguintes:
lim x 0 raizsin (2 x)x

Passo 1

O enunciado pede para analisar, justificando, a existência e o valor de
limxto0raizsin(2x)x.
O conteúdo principal aqui é o limite trigonométrico
limtto0sin tt=1
e a manipulação algébrica para colocar a expressão nessa forma.

Passo 2

Verificamos primeiro se a quantidade dentro da raiz é positiva quando x se aproxima de zero (por ambos os lados). Note que, para xneq0 suficientemente pequeno,
sin(2x)x =2xx,sin(2x)2x =2;sin(2x)2x
Como sin(2x)/(2x) aproxima-se de 1, fica claro que para x perto de zero essa razão é próxima de 2>0. Logo a raiz quadrada está bem-definida em torno de zero (exceto em x=0, mas isso não impede o limite).

Passo 3

Usamos o limite trigonométrico padrão:
limxto0sin(2x)2x=1

Passo 4

Da expressão do Passo 2 deduzimos
limxto0sin(2x)x =2;limxto0sin(2x)2x =2cdot1 =2

Passo 5

Por fim, como a raiz quadrada é contínua na vizinhança de 2>0, temos
limxto0raizsin(2x)x =raizlimxto0sin(2x)x =raiz2

Resposta

raiz2

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