Considere f uma função par e seja h=g circ f. Mostre que h é uma função par. Supondo f uma função ímpar, podemos concluir que h também será?

Passo 1

O enunciado diz que f é uma função par, ou seja, para todo x do domínio vale
f(-x)=f(x)
Definimos h como a composição h = g circ f, ou seja,
h(x)=gl(f(x)r)
O objetivo é mostrar que h também é par, aplicando diretamente a definição de paridade de funções.

Passo 2

Para verificar se h é par, calculamos h(-x) usando a definição de h:
h(-x)=gl(f(-x)r)

Passo 3

Como f é par, temos f(-x)=f(x). Substituindo em h(-x) fica
h(-x)=gl(f(x)r)

Passo 4

Mas gl(f(x)r) é exatamente h(x). Logo
h(-x)=h(x),
ou seja, h é par.

Passo 5

Agora, suponha que f seja ímpar, isto é,
f(-x)=-f(x)
Então
h(-x)=gl(f(-x)r)=gl(-f(x)r)
Para h ser ímpar precisaríamos ter
h(-x)=-h(x)Longrightarrow gl(-f(x)r)=-gl(f(x)r)
Isso exige que g também seja ímpar (pois só assim vale g(-y)=-g(y) para todo y). Como não há essa hipótese sobre g, em geral não podemos concluir que h será ímpar.

Resposta

A composição h=gcirc f é par sempre que f for par.
Se f for ímpar, não podemos garantir que h seja ímpar, a menos que também saibamos que g é ímpar.

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