Considere
uma função par e seja
. Mostre que
é uma função par. Supondo
uma função ímpar, podemos concluir que
também será?
Passo 1
O enunciado diz que
é uma função par, ou seja, para todo
do domínio vale
Definimos
como a composição
, ou seja,
O objetivo é mostrar que
também é par, aplicando diretamente a definição de paridade de funções.
Passo 2
Para verificar se
é par, calculamos
usando a definição de
:
Passo 3
Como
é par, temos
. Substituindo em
fica
Passo 4
Mas
é exatamente
. Logo
ou seja,
é par.
Passo 5
Agora, suponha que
seja ímpar, isto é,
Então
Para
ser ímpar precisaríamos ter
Isso exige que
também seja ímpar (pois só assim vale
para todo
). Como não há essa hipótese sobre
, em geral não podemos concluir que
será ímpar.
Resposta
A composição
é par sempre que
for par.
Se for ímpar, não podemos garantir que
seja ímpar, a menos que também saibamos que
é ímpar.
Se