Suponha que a função
Passo 1
O enunciado define uma função
Precisamos esboçar o gráfico em e em
, e depois obter a série de Fourier geral de
.
Passo 2
Para esboçar
em
:
– No intervalo cada período
.
– No intervalo cada período
, uma reta subindo de 0 até
.
– Em seguida repetimos esse padrão para e para
.
Grafico qualitativo: duas “porções nulas” de comprimento e duas “porções em rampa” de 0 a
.
– No intervalo
– No intervalo
– Em seguida repetimos esse padrão para
Grafico qualitativo: duas “porções nulas” de comprimento
Passo 3
Vamos aos limites laterais:
- Em
:
Logo
é contínua em 0.
-
Em
:
(pois logo antes de ),
(periodicidade).
Há salto. -
Em
:
(pois logo depois de vale 0),
.
Também há salto.
Passo 4
Cálculo de
:
Passo 5
Cálculo de
(coeficiente de
):
Usando integração por partes, com
,
:
avaliando de 0 a
:
Logo
que vale zero se
é par e
se
é ímpar.
Passo 6
Cálculo de
(coeficiente de
):
Por partes, com
,
:
avaliando de 0 a
dá
Então
Passo 7
Montagem da série de Fourier:
Resposta
Esboço: retas horizontais nulas em
e rampas
em
, repetido em
.
Limites:
,
,
,
,
.
Série de Fourier:
Limites:
Série de Fourier: