Suponha que a função

Passo 1

O enunciado define uma função
Precisamos esboçar o gráfico em e em , e depois obter a série de Fourier geral de .

Passo 2

Para esboçar f em [-2pi,2pi]:
– No intervalo [-,pi,0] cada período f(x)=0.
– No intervalo [0,pi] cada período f(x)=x, uma reta subindo de 0 até pi.
– Em seguida repetimos esse padrão para [-2pi,-pi] e para [pi,2pi].
Grafico qualitativo: duas “porções nulas” de comprimento pi e duas “porções em rampa” de 0 a pi.

Passo 3

Vamos aos limites laterais:
  1. Em x=0:
limxto0^-f(x)=0, limxto0^+f(x)=0
Logo f é contínua em 0.
  1. Em x=pi:
    limxtopi^-f(x)=pi (pois f(x)=x logo antes de pi),
    limxtopi^+f(x)=f(-pi^+)=0 (periodicidade).
    Há salto pito0.
  2. Em x=-pi:
    limxto(-pi)^+f(x)=0 (pois logo depois de -pi vale 0),
    limxto(-pi)^-f(x)=f(pi^-)=pi.
    Também há salto.

Passo 4

Cálculo de a0:
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx =1piintegral0^pix,dx =1picdotpi^22 =pi2

Passo 5

Cálculo de an (coeficiente de cos(nx)):
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx =1piintegral0^pixcos(nx),dx
Usando integração por partes, com u=x, dv=cos(nx)dx:
integral xcos(nx),dx =xsin(nx)n+cos(nx)n^2,
avaliando de 0 a pi:
integral0^pixcos(nx),dx =(-1)^n-1n^2
Logo
an=(-1)^n-1pi,n^2,
que vale zero se n é par e -2/(pi n^2) se n é ímpar.

Passo 6

Cálculo de bn (coeficiente de sin(nx)):
bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx =1piintegral0^pixsin(nx),dx
Por partes, com u=x, dv=sin(nx)dx:
integral xsin(nx),dx =-xcos(nx)n+sin(nx)n^2,
avaliando de 0 a pi
integral0^pixsin(nx),dx =-pi(-1)^nn
Então
bn=1pil(-pi(-1)^nnr) =-(-1)^nn =(-1)^,n+1n

Passo 7

Montagem da série de Fourier:
f(x)sim a02 +sumn=1^inftyl[ancos(nx)+bnsin(nx)r] =pi4 +sumn=1^inftyl((-1)^n-1pi n^2cos(nx) +(-1)^n+1nsin(nx)r)

Resposta

Esboço: retas horizontais nulas em [-,pi,0] e rampas f(x)=x em [0,pi], repetido em [-2pi,2pi].
Limites:
limxto0^pmf(x)=0,
limxtopi^-f(x)=pi, limxtopi^+f(x)=0,
limxto(-pi)^+f(x)=0, limxto(-pi)^-f(x)=pi.
Série de Fourier:
f(x)=pi4 +sumn=1^inftyl((-1)^n-1pi n^2cos(nx) +(-1)^n+1nsin(nx)r)

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