(1,0) Resolva cada um dos itens abaixo, relacionados à conceitos topológicos:
Defina conjunto compacto em
e prove que se
é contínua, com
compacto, então
também é compacto;
Passo 1
O enunciado pede que a gente trabalhe com o conceito de conjunto compacto em
e prove que, se
é contínua e
é compacto, então
também é compacto. O conteúdo envolvido é topologia em
, mais precisamente a definição de compacidade via coberturas abertas e a propriedade de continuidade que leva abertos em abertos pela pré-imagem.
Passo 2
Definimos um conjunto
como compacto se, para toda família
de conjuntos abertos em
tal que
existe um subíndice finito
em
com
Essa é a definição de compacidade por coberturas abertas.
Passo 3
Lembrando que
é contínua significa, por definição, que para qualquer aberto
, a pré-imagem
é aberta em
(entendida como aberto relativo em
). Em particular, a pré-imagem de cada membro de uma cobertura aberta de
é aberta em
.
Passo 4
Para mostrar que
é compacto, considere uma cobertura aberta de
,
com cada
aberto em
. Então as pré-imagens
são abertas em
e cobrem
:
Como
é compacto, existe uma subfamília finita
tal que
Aplicando
em ambos os lados, temos
ou seja, extraímos uma subcobertura finita de
que ainda cobre
. Isso mostra que
satisfaz a definição de compacto.
Resposta
A imagem
é compacta.