(1,0) Resolva cada um dos itens abaixo, relacionados à conceitos topológicos:
(0,3) Defina conjunto compacto em R e prove que se f: K R é contínua, com K subset R compacto, então f(K) também é compacto;

Passo 1

O enunciado pede que a gente trabalhe com o conceito de conjunto compacto em R e prove que, se f:KtoR é contínua e KsubsetR é compacto, então f(K) também é compacto. O conteúdo envolvido é topologia em R, mais precisamente a definição de compacidade via coberturas abertas e a propriedade de continuidade que leva abertos em abertos pela pré-imagem.

Passo 2

Definimos um conjunto KsubsetR como compacto se, para toda família Uiiin I de conjuntos abertos em R tal que
K subset cupiin I Ui,
existe um subíndice finito i1,dots,in em I com
K subset Ui1cupcdotscup Uin
Essa é a definição de compacidade por coberturas abertas.

Passo 3

Lembrando que f é contínua significa, por definição, que para qualquer aberto VsubsetR, a pré-imagem
f^-1(V) = xin K mid f(x)in V
é aberta em K (entendida como aberto relativo em R). Em particular, a pré-imagem de cada membro de uma cobertura aberta de f(K) é aberta em K.

Passo 4

Para mostrar que f(K) é compacto, considere uma cobertura aberta de f(K),
f(K)subset cupiin I Ui,
com cada Ui aberto em R. Então as pré-imagens f^-1(Ui)iin I são abertas em K e cobrem K:
K ;=; f^-1l(f(K)r);subset; cupiin I f^-1(Ui)
Como K é compacto, existe uma subfamília finita i1,dots,in tal que
K ;subset; f^-1(Ui1)cupcdotscup f^-1(Uin)
Aplicando f em ambos os lados, temos
f(K);subset; Ui1cupcdotscup Uin,
ou seja, extraímos uma subcobertura finita de Ui que ainda cobre f(K). Isso mostra que f(K) satisfaz a definição de compacto.

Resposta

A imagem f(K) é compacta.

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