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a) Determine k sabendo que
é fator integrante da equação:
, em seguida, resolva a equação para
.
a) Determine k sabendo que
Passo 1
Aqui a gente tem a equação
. Queremos achar um fator integrante do tipo
para tornar a equação exata e depois resolver com a condição
. O conteúdo principal é fator integrante e equações exatas.
Passo 2
Vamos determinar
exigindo que
. Como
e
, calculamos
e
.
Derivando temos
e
.
Igualando
obtemos .
e
Derivando temos
e
Igualando
obtemos
Passo 3
Com
, o fator é
. Multiplicando na equação original obtemos uma equação exata com
e
.
e
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
. Integramos em relação a
:
Depois diferenciamos em relação a
e igualamos a
Passo 5
A solução geral implícita é
Usando
logo
e
Passo 6
Para obter
explicitamente, multiplicamos por
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Como
, escolhemos o sinal
, ficando
Resposta
k = -2 e a solução particular com y(1)=2 é y = 1 + \sqrt{1 - \ln(x)}.