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a) Determine k sabendo que mu(x, y)=y^kx é fator integrante da equação: y d x+(x y^2-x ln (x)) d y=0 e, em seguida, resolva a equação para y(1)=2.

Passo 1

Aqui a gente tem a equação y,dx + (x y^2 - xln(x)),dy = 0. Queremos achar um fator integrante do tipo mu(x,y)=y^kx para tornar a equação exata e depois resolver com a condição y(1)=2. O conteúdo principal é fator integrante e equações exatas.

Passo 2

Vamos determinar k exigindo que partialy(mu M)=partialx(mu N). Como M=y e N=xy^2 - xln(x), calculamos
tilde M=mu M=y^k+1x
e
tilde N=mu N=y^k(y^2-ln(x)).
Derivando temos
partialytilde M=(k+1)y^kx
e
partialxtilde N=-y^kx.
Igualando
(k+1)y^kx=-y^kx
obtemos k=-2.

Passo 3

Com k=-2, o fator é mu=y^-2x. Multiplicando na equação original obtemos uma equação exata com
tilde M=1x,y
e
tilde N=1-ln(x)y^2.

Passo 4

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que psix=tilde M. Integramos em relação a x:
psi(x,y)=integral1x,ydx=ln(x)y+h(y)
Depois diferenciamos em relação a y:
psiy=-ln(x)y^2+h'(y)
e igualamos a tilde N=1-ln(x)y^2, o que dá h'(y)=1 e, integrando, h(y)=y. Assim
psi(x,y)=ln(x)y+y

Passo 5

A solução geral implícita é
ln(x)y+y=C
Usando y(1)=2 temos
ln(1)2+2=0+2=2,
logo C=2 e
ln(x)y+y=2

Passo 6

Para obter y explicitamente, multiplicamos por y:
y^2-2y+ln(x)=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y=2pmraiz4-4ln(x)2=1pmraiz1-ln(x)
Como y(1)=2, escolhemos o sinal +, ficando
y=1+raiz1-ln(x)

Resposta

k = -2 e a solução particular com y(1)=2 é y = 1 + \sqrt{1 - \ln(x)}.

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