Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é calcular a transformada de Laplace da função $ e^{-x} \sin(4x) + e^{-x} \cos(4x) $. Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos usar a linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas básicas para as transformadas de funções exponenciais multiplicadas por senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma operação que transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência. Ela é definida por:
Mas não se preocupe com a integral agora, vamos usar as fórmulas já conhecidas.
Passo 3
Vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que diz que a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas das funções individualmente. Ou seja:
Aplicando isso na nossa função:
Passo 4
Agora, vamos usar as fórmulas de transformada de Laplace para funções do tipo $ e^{at} \sin(bt) $ e $ e^{at} \cos(bt) $:
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 4 $.
Passo 5
Aplicando essas fórmulas:
Para $ L{e^{-x} \sin(4x)} $:
Para $ L{e^{-x} \cos(4x)} $:
Passo 6
Agora, somando as duas transformadas:
Passo 7
Como os denominadores são iguais, podemos somar os numeradores diretamente:
Resposta
A transformada de Laplace é: