Determine:
L(e^-x sen 4 x+e^-x cos 4 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é calcular a transformada de Laplace da função $ e^{-x} \sin(4x) + e^{-x} \cos(4x) $. Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos usar a linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas básicas para as transformadas de funções exponenciais multiplicadas por senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma operação que transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência. Ela é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Mas não se preocupe com a integral agora, vamos usar as fórmulas já conhecidas.

Passo 3

Vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que diz que a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas das funções individualmente. Ou seja:
Lf(t) + g(t) = Lf(t) + Lg(t)
Aplicando isso na nossa função:
Le^-x sin(4x) + e^-x cos(4x) = Le^-x sin(4x) + Le^-x cos(4x)

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas de transformada de Laplace para funções do tipo $ e^{at} \sin(bt) $ e $ e^{at} \cos(bt) $:
e^at sin(bt)
e^at cos(bt)
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 4 $.

Passo 5

Aplicando essas fórmulas:
Para $ L{e^{-x} \sin(4x)} $:
Le^-x sin(4x)
Para $ L{e^{-x} \cos(4x)} $:
Le^-x sin(4x) = 4(s + 1)^2 + 16

Passo 6

Agora, somando as duas transformadas:
Le^-x sin(4x) + e^-x cos(4x) = 4(s + 1)^2 + 16 + s + 1(s + 1)^2 + 16

Passo 7

Como os denominadores são iguais, podemos somar os numeradores diretamente:
4 + (s + 1)(s + 1)^2 + 16 = s + 5(s + 1)^2 + 16

Resposta

A transformada de Laplace é:
L(e^-x sin(4x) + e^-x cos(4x)) = s + 5(s + 1)^2 + 16

Exercícios relacionados