Determine \lambda \in \mathbb{R} para que o seguinte subespaço de \mathbb{R}^{3} tenha dimensão 1 .
W=\left\{\left(\begin{array}{l}
a \\
b \\
c
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} ;\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
\lambda & 2 & -2 \\
-2 & 1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
a \\
b \\
c
\end{array}\right) \text {, para algum vetor }\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)\right\} .
é usada para gerar W via W=\operatorname{Im}(A) (isto é, os vetores que são imagens de algum (x,y,z)).
Queremos a dimensão do subespaço imagem de A igual a 1.]
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): para uma matriz A vista como transformação linear, o espaço W descrito é exatamente a imagem (ou coluna-espaço) de A. A dimensão de W é, por definição, o posto (rank) de A. Ou seja,
\dim(W)=\operatorname{rank}(A).
Portanto precisamos encontrar \lambda tais que \operatorname{rank}(A)=1.
Explicando o que significa \operatorname{rank}(A)=1: isso quer dizer que todas as colunas de A (ou todas as linhas) são múltiplos escalares de um único vetor não nulo. Em outras palavras, há exatamente uma direção não nula no espaço gerada pelas colunas (ou linhas).
Passo 3
Vamos trabalhar com as linhas — é uma escolha prática pois algumas linhas parecem relacionadas. Denotando as linhas de A por
Da segunda equação obtemos k=-2\]. Checando a terceira equação, com \(k=-2 temos 1\cdot k=-2, que bate com a terceira equação — consistente. Agora da primeira equação,
e já sabíamos r_3=-1\,r_1. Assim todas as linhas são múltiplos de r_1 e a matriz não é a matriz zero (pois r_1\neq(0,0,0)). Logo \operatorname{rank}(A)=1 quando \lambda=-4. Não há outro valor de \lambda que torne r_2 proporcional a r_1, portanto é único.