Determine \lambda \in \mathbb{R} para que o seguinte subespaço de \mathbb{R}^{3} tenha dimensão 1 .
W=\left\{\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} ;\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ \lambda & 2 & -2 \\ -2 & 1 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \text {, para algum vetor }\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\right\} .

Passo 1

O enunciado dá a família de vetores
W=\left\{\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3 \;:\; \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] \lambda & 2 & -2\\[4pt] -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} \text{ para algum } \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\right\}.
As perguntas que temos de responder são:
  • Determinar os valores de \lambda\in\mathbb{R} tais que \dim(W)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] \lambda & 2 & -2\\[4pt] -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
é usada para gerar W via W=\operatorname{Im}(A) (isto é, os vetores que são imagens de algum (x,y,z)).
  • Queremos a dimensão do subespaço imagem de A igual a 1.]

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): para uma matriz A vista como transformação linear, o espaço W descrito é exatamente a imagem (ou coluna-espaço) de A. A dimensão de W é, por definição, o posto (rank) de A. Ou seja,
\dim(W)=\operatorname{rank}(A).
Portanto precisamos encontrar \lambda tais que \operatorname{rank}(A)=1.
Explicando o que significa \operatorname{rank}(A)=1: isso quer dizer que todas as colunas de A (ou todas as linhas) são múltiplos escalares de um único vetor não nulo. Em outras palavras, há exatamente uma direção não nula no espaço gerada pelas colunas (ou linhas).

Passo 3

Vamos trabalhar com as linhas — é uma escolha prática pois algumas linhas parecem relacionadas. Denotando as linhas de A por
r_1=(2,\,-1,\,1),\qquad r_2=(\lambda,\,2,\,-2),\qquad r_3=(-2,\,1,\,-1),
observa-se imediatamente que
r_3=-1\cdot r_1,
pois -1\cdot(2,-1,1)=(-2,1,-1). Então r_1 e r_3 já são proporcionais.
Para que \operatorname{rank}(A)=1 precisamos ainda que r_2 também seja proporcional a r_1 (e assim a r_3). Ou seja, deve existir um escalar k tal que
r_2 = k\,r_1.

Passo 4

Escrevendo a condição r_2=k r_1\) componente a componente, temos \[(\lambda,\,2,\,-2)=k\,(2,\,-1,\,1).
Isto gera o sistema de equações
\begin{cases} \lambda = 2k,\\[4pt] 2 = -1\cdot k,\\[4pt] -2 = 1\cdot k. \end{cases}
Da segunda equação obtemos k=-2\]. Checando a terceira equação, com \(k=-2 temos 1\cdot k=-2, que bate com a terceira equação — consistente. Agora da primeira equação,
\lambda = 2k = 2\cdot(-2) = -4.]

Passo 5

Verificação final: para \lambda=-4 temos
r_2=(-4,\,2,\,-2) = -2\cdot(2,\,-1,\,1) = -2\,r_1,
e já sabíamos r_3=-1\,r_1. Assim todas as linhas são múltiplos de r_1 e a matriz não é a matriz zero (pois r_1\neq(0,0,0)). Logo \operatorname{rank}(A)=1 quando \lambda=-4. Não há outro valor de \lambda que torne r_2 proporcional a r_1, portanto é único.

Resposta

\lambda=-4

Exercícios relacionados