Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que contem os pontos A(-1,4,-3) e B(2,1,3).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço e pede as equações da reta que os contém. Os dados são:
  • Ponto A com coordenadas A(-1,4,-3).
  • Ponto B com coordenadas B(2,1,3).
O que se pede:
  • as equações paramétricas da reta que passa por A e B;
  • as equações simétricas equivalentes dessa mesma reta.

Passo 2

Para escrever a reta precisamos de um vetor diretor. O vetor diretor \vec{v} pode ser obtido subtraindo as coordenadas de A das de B:
\vec{v}= \overrightarrow{AB} = B - A = (2-(-1),\;1-4,\;3-(-3)).
Calcule componente a componente:
2-(-1)=3,\qquad 1-4=-3,\qquad 3-(-3)=6.
Logo
\vec{v}=(3,-3,6).
Observação: um vetor diretor pode ser multiplicado por qualquer escalar sem mudar a reta. Aqui os componentes têm fator comum 3, então podemos simplificar dividindo por 3 para obter um vetor equivalente menor:
\vec{u}=\frac{1}{3}\vec{v}=(1,-1,2).
Usar \vec{v} ou \vec{u} dá a mesma reta; \vec{u} só deixa as expressões mais simples.

Passo 3

Explicar o que é a forma paramétrica: uma reta passando por um ponto P_0(x_0,y_0,z_0) com vetor diretor \vec{d}=(d_x,d_y,d_z) pode ser escrita em forma vetorial como
\vec{r}(t)=\vec{P_0}+t\vec{d},
onde t é o parâmetro real. Em coordenadas isso vira as equações paramétricas
x = x_0 + t d_x,\qquad y = y_0 + t d_y,\qquad z = z_0 + t d_z.
Aqui escolhemos o ponto A(-1,4,-3) como ponto base e o vetor diretor \vec{v}=(3,-3,6). Assim a forma paramétrica (com parâmetro t) é
x = -1 + 3t, \qquad y = 4 - 3t, \qquad z = -3 + 6t.
Isso significa: para cada t\in\mathbb{R} obtemos um ponto da reta; por exemplo t=0 A e t=1 A+\vec{v}=B.

Passo 4

Podemos usar o vetor diretor simplificado \vec{u}=(1,-1,2). Para isso basta reescalar o parâmetro: defina s=3t. Substituindo t=s/3 nas equações anteriores obtemos paramétrica equivalente com s:
x = -1 + s, \qquad y = 4 - s, \qquad z = -3 + 2s.
Essa forma é mais simples e costuma facilitar a obtenção da forma simétrica.

Passo 5

Agora vamos passar das equações paramétricas para a forma simétrica. A ideia é isolar o parâmetro s em cada equação e depois igualá-los:
Das equações
x = -1 + s,\qquad y = 4 - s,\qquad z = -3 + 2s,
isolando s obtemos
s = x+1,\qquad s = 4-y,\qquad s = \frac{z+3}{2}.
Igualando essas expressões para s chegamos à forma simétrica
x+1 = 4-y = \frac{z+3}{2}.
É comum escrever a simétrica dividindo cada lado pelo correspondente componente do vetor diretor; usando o vetor \vec{u}=(1,-1,2) isso fica
\frac{x+1}{1} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z+3}{2}.
Usando o vetor original \vec{v}=(3,-3,6) a mesma reta também pode ser escrita como
\frac{x+1}{3} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z+3}{6}.
As duas formas são equivalentes (apenas diferem por um fator comum 3 no denominador).

Passo 6

Verificação rápida (controle de erro): substituir as coordenadas de B(2,1,3) nas formas simétricas.
Com \vec{u}: \dfrac{2+1}{1}=3, \dfrac{1-4}{-1}=3, \dfrac{3+3}{2}=3. Todas dão 3, logo B satisfaz a equação — bom sinal.

Resposta

Equações paramétricas (parâmetro t):
x = -1 + 3t,\qquad y = 4 - 3t,\qquad z = -3 + 6t.
Equações paramétricas (parâmetro s, com vetor diretor simplificado):
x = -1 + s,\qquad y = 4 - s,\qquad z = -3 + 2s.
Equações simétricas (vetor diretor \vec{u}=(1,-1,2)):
\frac{x+1}{1} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z+3}{2}.
Equações simétricas (vetor diretor \vec{v}=(3,-3,6), forma equivalente):
\frac{x+1}{3} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z+3}{6}.

Exercícios relacionados