Determine Laplaciano dos campos escalares abaixo:
$v=e^{-z} \operatorname{sen}(2 x) \operatorname{cosh} (y);

Passo 1

O enunciado nos dá o campo escalar
v(x,y,z) = e^-z,sin(2x),cosh(y)
e pede o Laplaciano nabla^2 v. Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano é definido como
nabla^2 v = partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2 + partial^2 vpartial z^2
Vamos, portanto, calcular cada derivada segunda em x, y e z.

Passo 2

Para partial^2 v/partial x^2 primeiro calculamos
partial vpartial x = e^-z,partialpartial xl(sin(2x)cosh(y)r) = e^-z,(2cos(2x)cosh(y))
Diferenciando novamente em x,
partial^2 vpartial x^2 = partialpartial xl(2e^-zcos(2x)cosh(y)r) = 2e^-zl(-2sin(2x)cosh(y)r) = -4,e^-zsin(2x)cosh(y) = -4,v

Passo 3

Para partial^2 v/partial y^2 temos
partial vpartial y = e^-z,sin(2x),sinh(y),
e diferenciando de novo em y,
partial^2 vpartial y^2 = e^-z,sin(2x),cosh(y) = v

Passo 4

Para partial^2 v/partial z^2 obtemos
partial vpartial z = partialpartial zl(e^-zsin(2x)cosh(y)r) = -e^-zsin(2x)cosh(y) = -v,
e diferenciando novamente em z,
partial^2 vpartial z^2 = partialpartial z(-v) = -,l(-e^-zsin(2x)cosh(y)r) = e^-zsin(2x)cosh(y) = v

Passo 5

Somando as três derivadas segundas,
nabla^2 v = partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2 + partial^2 vpartial z^2 = l(-4vr) + v + v = -2,v

Resposta

nabla^2 v = -2,e^-z,sin(2x),cosh(y)

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