Determine:
Le^2 x+2 e^-3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ e^{2x} + 2e^{-3x} $. Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, que é super útil pra resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a fórmula da transformada de Laplace em funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Lf(x) = integral0^infty e^-s x f(x) , dx
Mas, pra facilitar, existem fórmulas prontas para algumas funções comuns, como as exponenciais. A gente sabe que:
Le^a x = 1s - a
desde que $ s > a $.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula na primeira parte da função, que é $ e^{2x} $. Aqui, $ a = 2 $, então:
e^2x

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte da função, que é $ 2e^{-3x} $. Primeiro, vamos calcular a transformada de $ e^{-3x} $. Nesse caso, $ a = -3 $, então:
2e^-3x
Como tem um coeficiente 2, a transformada completa fica:
e^-3x

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que transformamos:
Le^2x + 2e^-3x = 1s - 2 + 2s + 3

Resposta

A transformada de Laplace de $ e^{2x} + 2e^{-3x} $ é:
e^2x + 2e^-3x

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