Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ e^{2x} + 2e^{-3x} $. Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, que é super útil pra resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a fórmula da transformada de Laplace em funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Mas, pra facilitar, existem fórmulas prontas para algumas funções comuns, como as exponenciais. A gente sabe que:
desde que $ s > a $.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula na primeira parte da função, que é $ e^{2x} $. Aqui, $ a = 2 $, então:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte da função, que é $ 2e^{-3x} $. Primeiro, vamos calcular a transformada de $ e^{-3x} $. Nesse caso, $ a = -3 $, então:
Como tem um coeficiente 2, a transformada completa fica:
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes que transformamos:
Resposta
A transformada de Laplace de $ e^{2x} + 2e^{-3x} $ é: