Determine f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y)
f(x, y)=x^{3} \ln \left(1+x y^{-3 / 5}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar as derivadas parciais \\ f_{x}(x,y) e \\ f_{y}(x,y) da função dada.
Informação fornecida:
f(x,y)=x^{3}\ln\!\big(1+x\,y^{-3/5}\big).
Ou seja, a função é produto de x^{3} por \ln(1+x\,y^{-3/5}). Não há mais dados (domínio implícito: y\neq0 para que y^{-3/5} esteja definido como potência real).

Passo 2

Revisando as regras que vamos usar (explicadinho, sem pressa):
  • Para derivada parcial em relação a x tratamos y como constante; para derivada parcial em relação a y tratamos x como constante.
  • Produto: se f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Mesma fórmula vale trocando x por y.
  • Cadeia/ln: se v(z)=\ln(z) e z=g(x,y), então
\frac{\partial}{\partial x}\ln(g)=\frac{1}{g}\,\frac{\partial g}{\partial x}.
  • Potência: se h(y)=y^{\alpha} então
\frac{dh}{dy}=\alpha y^{\alpha-1}.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle f_{x}(x,y). Defino para clareza:
u(x,y)=x^{3},\qquad v(x,y)=\ln\!\big(1+x\,y^{-3/5}\big),
então f=uv. Pelo produto,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 4

Calculo das parcelas em \displaystyle f_{x}:
Primeiro \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2}.
Agora \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}: usando cadeia com g(x,y)=1+x\,y^{-3/5},
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{1}{1+x\,y^{-3/5}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x\,y^{-3/5}\big).
Como y é constante aqui, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(x\,y^{-3/5}\big)=y^{-3/5}. Logo
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{y^{-3/5}}{1+x\,y^{-3/5}}.

Passo 5

Montando \displaystyle f_{x} com as parcelas:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}\,\ln\!\big(1+x\,y^{-3/5}\big)+x^{3}\cdot\frac{y^{-3/5}}{1+x\,y^{-3/5}}.
Podemos deixar assim ou, se quiser, fatorar x^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}=x^{2}\!\left(3\ln\!\big(1+x\,y^{-3/5}\big)+\frac{x\,y^{-3/5}}{1+x\,y^{-3/5}}\right).
Ambas equivalentes.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle f_{y}(x,y). Voltamos à escrita f(x,y)=x^{3}\ln\!\big(1+x\,y^{-3/5}\big). Agora x é constante, então a derivada de x^{3} em relação a y é zero. Assim pelo produto:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\ln\!\big(1+x\,y^{-3/5}\big).

Passo 7

Calculo da parcela restante usando cadeia: com g(x,y)=1+x\,y^{-3/5},
\frac{\partial}{\partial y}\ln(g)=\frac{1}{g}\,\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{1}{1+x\,y^{-3/5}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(x\,y^{-3/5}\big).
Aqui x é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x\,y^{-3/5}\big)=x\cdot\frac{d}{dy}y^{-3/5} =x\cdot\Big(-\frac{3}{5}\Big)y^{-3/5-1} =x\cdot\Big(-\frac{3}{5}\Big)y^{-8/5}.

Passo 8

Substituindo em \displaystyle f_{y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}\cdot\frac{1}{1+x\,y^{-3/5}}\cdot x\Big(-\frac{3}{5}\Big)y^{-8/5}.
Multiplicando fatores de x obtemos x^{3}\cdot x = x^{4}. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{3}{5}\,\frac{x^{4}\,y^{-8/5}}{1+x\,y^{-3/5}}.

Resposta

f_{x}(x,y)=3x^{2}\ln\!\big(1+x\,y^{-3/5}\big)+\dfrac{x^{3}y^{-3/5}}{1+x\,y^{-3/5}}\n f_{y}(x,y)=-\dfrac{3}{5}\,\dfrac{x^{4}y^{-8/5}}{1+x\,y^{-3/5}}

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