Seja z=f(x, y). Determine as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}.
f(x, y)=x e^{\frac{y}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} da função
f(x,y)=x e^{\frac{y}{x}},
onde z=f(x,y).
Informações dadas: a expressão de f em termos de x e y é \;x e^{\frac{y}{x}}.
Perguntas explícitas: encontrar
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

O que significa derivada parcial?
  • \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando x varia e y fica fixo.
  • \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} é a taxa de variação de z quando y varia e x fica fixo.
    Na prática, ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante.

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}v+u\frac{\partial v}{\partial x},
isto é, derivamos um fator por vez mantendo o outro. Aqui u=x e v=e^{\frac{y}{x}}.
  • Regra da cadeia para exponencial: se g depende de x, então
\frac{d}{dx} e^{g(x)} = e^{g(x)}\cdot g'(x).
No nosso caso g(x)=\frac{y}{x} quando diferenciamos em relação a x (com y tratado como constante) e g(y)=\frac{y}{x} quando diferenciamos em relação a y (com x tratado como constante).

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}: aplicamos a regra do produto a f(x,y)=x\cdot e^{\frac{y}{x}}.
  1. Derivada de x em relação a x é 1. Então o primeiro termo é 1\cdot e^{\frac{y}{x}}=e^{\frac{y}{x}}.
  2. Agora derivamos e^{\frac{y}{x}} em relação a x. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{y}{x}} = e^{\frac{y}{x}}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Como y é constante nessa derivação,
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{x}\right)=y\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{y}{x^{2}}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{y}{x}} = e^{\frac{y}{x}}\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
Multiplicando pelo fator x (regra do produto, segundo termo) obtemos
x\cdot e^{\frac{y}{x}}\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)=e^{\frac{y}{x}}\left(-\frac{y}{x}\right).
Somando os dois termos da regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}\left(-\frac{y}{x}\right) = e^{\frac{y}{x}}\left(1-\frac{y}{x}\right).
Podemos também escrever de forma equivalente
\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{x-y}{x}\,e^{\frac{y}{x}}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}: agora x é constante. Temos
\frac{\partial}{\partial y}\left(x e^{\frac{y}{x}}\right)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y} e^{\frac{y}{x}}.
Pela regra da cadeia, com x constante,
\frac{\partial}{\partial y} e^{\frac{y}{x}} = e^{\frac{y}{x}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}\right) = e^{\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{x},
porque \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x} (dividir por uma constante). Multiplicando por x obtemos
\frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot e^{\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{x}=e^{\frac{y}{x}}.

Passo 6

Pequena checagem de sanidade (para te dar confiança): se y=0 então f(x,0)=x. Nossa fórmula dá
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=e^{0}\left(1-0\right)=1, coerente com d(x)/dx=1. Se x=1 então f(1,y)=e^{y} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=e^{y}, também consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=e^{\frac{y}{x}}\left(1-\frac{y}{x}\right)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=e^{\frac{y}{x}}

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