Seja
. Determine as derivadas parciais
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função
onde
.
Informações dadas: a expressão de em termos de
e
é
.
Perguntas explícitas: encontrar
e
.
Informações dadas: a expressão de
Perguntas explícitas: encontrar
Passo 2
O que significa derivada parcial?
-
é a taxa de variação de quando varia e fica fixo. -
é a taxa de variação de quando varia e fica fixo.
Na prática, ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante.
Passo 3
Fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
e são funções, então
isto é, derivamos um fator por vez mantendo o outro. Aqui
e
.
- Regra da cadeia para exponencial: se
depende de , então
No nosso caso
quando diferenciamos em relação a
(com
tratado como constante) e
quando diferenciamos em relação a
(com
tratado como constante).
Passo 4
Cálculo de
: aplicamos a regra do produto a
.
- Derivada de
em relação a é . Então o primeiro termo é . - Agora derivamos
em relação a . Pela regra da cadeia:
Como
é constante nessa derivação,
Portanto
Multiplicando pelo fator
(regra do produto, segundo termo) obtemos
Somando os dois termos da regra do produto:
Podemos também escrever de forma equivalente
Passo 5
Cálculo de
: agora
é constante. Temos
Pela regra da cadeia, com
constante,
porque
(dividir por uma constante). Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Pequena checagem de sanidade (para te dar confiança): se
então
. Nossa fórmula dá
, coerente com
. Se
então
e
, também consistente.