Determine f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y)
f(x, y)=4 e^{x^{2} y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) da função dada.
Informação fornecida:
f(x,y)=4e^{x^{2}y^{3}}.

Passo 2

O que significa derivada parcial aqui (explicação didática):
  • A derivada parcial \,f_{x}(x,y)\, é a taxa de variação de f em relação a x mantendo y fixo.
  • A derivada parcial \,f_{y}(x,y)\, é a taxa de variação de f em relação a y mantendo x fixo.
    Regra importante que vamos usar (cadeia para funções compostas): se \,f(x,y)=g(u(x,y)) com g diferenciável, então
\frac{\partial f}{\partial x}=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui g(t)=4e^{t} ou, melhor ainda, f(x,y)=4\cdot e^{u(x,y)} com \,u(x,y)=x^{2}y^{3}. Note que a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u} (essa é a parte simples da regra da cadeia).
Exemplo rápido para fixar a ideia: se h(x,y)=e^{xy}, então \partial h/\partial x = e^{xy}\cdot (y) porque \partial(xy)/\partial x = y (trata-se do mesmo padrão: derivada externa vezes derivada da interna).

Passo 3

Identificamos a função interna e calculamos suas derivadas parciais:
u(x,y)=x^{2}y^{3}.
Derivada parcial de u em relação a x (tratando y como constante): a regra do produto ou potência diz que \partial x^{2}/\partial x=2x, então
\frac{\partial u}{\partial x}=2x\cdot y^{3}=2x y^{3}.
Derivada parcial de u em relação a y (tratando x como constante): \partial y^{3}/\partial y=3y^{2}, então
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2} y^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para \,f(x,y)=4e^{u(x,y)}: a derivada externa de e^{u} é e^{u}, e há o fator constante 4. Para \partial f/\partial x temos
\frac{\partial f}{\partial x}=4\cdot e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo u e \partial u/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x}=4\cdot e^{x^{2}y^{3}}\cdot (2x y^{3}).
Multiplicando os fatores numéricos:
\frac{\partial f}{\partial x}=8x y^{3} e^{x^{2}y^{3}}.

Passo 5

Agora para \partial f/\partial y, mesmo procedimento:
\frac{\partial f}{\partial y}=4\cdot e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Substituindo u e \partial u/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}=4\cdot e^{x^{2}y^{3}}\cdot (3x^{2} y^{2}).
Multiplicando os fatores numéricos:
\frac{\partial f}{\partial y}=12 x^{2} y^{2} e^{x^{2}y^{3}}.

Resposta

f_{x}(x,y)=8x y^{3} e^{x^{2}y^{3}}
f_{y}(x,y)=12x^{2} y^{2} e^{x^{2}y^{3}}

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