O volume V de um cilindro circular reto é dado por V=\pi r^{2} h, onde r é o raio e h a altura.
Suponha que r tenha um valor constante de 8 pol, mas que h varie. Determine a taxa de variação de V em relação a h, no ponto onde h=10 pol.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do volume de um cilindro e pede a taxa de variação de V em relação a h no ponto onde h=10 pol, sabendo que r é constante e vale 8 pol.
Informações dadas:
V=\pi r^{2} h
r=8\\ \text{pol}
h=10\\ \text{pol}
O que pedem: calcular \dfrac{dV}{dh} no ponto indicado.

Passo 2

Vou explicar o que significam as letras na fórmula:
\,V é o volume (em polegadas cúbicas, isto é, \text{pol}^3), \,r é o raio da base (em polegadas, \text{pol}) e \,h é a altura (em polegadas, \text{pol}).
A fórmula \;V=\pi r^{2} h\; vem de multiplicar a área da base circular pela altura: a área da base é \pi r^{2} e o volume é essa área vezes h.

Passo 3

Agora vamos calcular a taxa de variação de V em relação a h, ou seja, a derivada \dfrac{dV}{dh}. Aqui r é constante, então ao derivarmos em relação a h tratamos \pi r^{2} como uma constante multiplicativa. A regra usada é: a derivada em relação a h de uma constante vezes h é essa constante. Assim,
\frac{dV}{dh}=\frac{d}{dh}\big(\pi r^{2} h\big)=\pi r^{2}.
Interpretação intuitiva: \dfrac{dV}{dh} é a quantidade de volume que o cilindro ganha ao aumentar h numa unidade; como essa quantidade é a área da base, a derivada é exatamente \pi r^{2}.

Passo 4

Agora substituímos o valor dado de r. Como r=8 pol, temos
\frac{dV}{dh}\Big|_{r=8}=\pi\cdot 8^{2}=\pi\cdot 64=64\pi.
Se quiseres uma aproximação decimal,
64\pi\approx 201{,}06\\ \text{pol}^2.

Passo 5

Unidades e interpretação final: \dfrac{dV}{dh} tem unidades de \dfrac{\text{pol}^3}{\text{pol}}=\text{pol}^2, ou seja, polegadas quadradas — faz sentido porque a taxa equivale à área da seção transversal (a base). Portanto no ponto pedido a taxa é 64\pi\\ \text{pol}^2, isto é, a cada aumento de 1 pol na altura o volume aumenta em 64\pi\\ \text{pol}^3 (o incremento de volume num aumento unitário de h tem magnitude numericamente igual a 64\pi e unidades de \text{pol}^3; ver nota: a derivada formal está em \text{pol}^2, que corresponde à área da base).

Resposta

64\pi\\ \text{pol}^2

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