Exemplo 2.31 Mostre que existe uma raiz de p(x)=4 x^{3}-6 x^{2}+3 x-2 no intervalo [1,2].
Solução: Primeiramente, observe que
f(1)=4-6+3-2=-1<0
e
f(2)=4 \cdot 8-6 \cdot 4+3 \cdot 2-2=32-24+6-2=12>0
Como f(1)=-1<0<12=f(2), então pelo teorema do valor intermediário existe c \in[1,2] tal que f\text{(c)}=0. Isto é, c é uma raiz de p(x).

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pedido:
  • A função polinomial p definida por p(x)=4x^{3}-6x^{2}+3x-2.
  • O intervalo fechado [1,2].
  • O que se pede: mostrar que existe uma raiz de p(x) no intervalo [1,2]; isto é, provar que existe c\in[1,2] tal que p\text{(c)}=0.

Passo 2

O que significa “mostrar que existe uma raiz” de forma prática (dica para a prova): normalmente verifica-se o sinal de p nas extremidades do intervalo [1,2]. Se a função for contínua em [1,2] e os valores em 1 e 2 tiverem sinais opostos (um negativo e outro positivo), então existe um ponto c\in[1,2] com p\text{(c)}=0. Vou explicar por que isso vale e por que polinômios são contínuos.
Breve explicação de continuidade (na linguagem de prova da graduação, mas simples):
  • Funções constantes e a função identidade x\mapsto x são contínuas.
  • Somar, multiplicar e compor funções contínuas resulta em funções contínuas.
  • Um polinômio é obtido a partir da função identidade e constantes por soma e multiplicação (por exemplo x^3 é x\cdot x\cdot x, etc.). Logo, todo polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}. Portanto p é contínua em [1,2].
Enunciado útil (teorema que usaremos) — forma prática:
\text{Se } f \text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }f(a)\cdot f(b)<0,\text{ então existe }c\in[a,b]\text{ com }f\text{(c)}=0.éíã
Em palavras: se uma função contínua toma valores de sinais opostos nas extremidades de um intervalo, o gráfico deve cruzar o eixo x em algum ponto desse intervalo.

Passo 3

Agora vamos calcular cuidadosamente p(1). Substituir x=1 em p(x)=4x^{3}-6x^{2}+3x-2:
p(1)=4\cdot 1^{3}-6\cdot 1^{2}+3\cdot 1-2.
Calcule passo a passo:
1^{3}=1,\qquad 1^{2}=1,
p(1)=4\cdot 1-6\cdot 1+3-2 = 4-6+3-2.
Somando em ordem:
4-6=-2,\qquad -2+3=1,\qquad 1-2=-1.
Portanto
p(1)=-1<0.

Passo 4

Agora calculamos p(2). Substituir x=2:
p(2)=4\cdot 2^{3}-6\cdot 2^{2}+3\cdot 2-2.
Calcule passo a passo:
2^{3}=8,\qquad 2^{2}=4,
p(2)=4\cdot 8 -6\cdot 4 + 6 -2 = 32 -24 +6 -2.
Somando em ordem:
32-24=8,\qquad 8+6=14,\qquad 14-2=12.
Portanto
p(2)=12>0.

Passo 5

Aplicação do teorema explicado no Passo 2 com os números que encontramos:
  • Já vimos que p é contínua em [1,2].
  • Encontramos p(1)=-1<0 e p(2)=12>0. Assim p(1) e p(2) têm sinais opostos, i.e., p(1)\cdot p(2)<0.
    Pelo teorema do valor intermediário (forma prática escrita no Passo 2), existe então algum c\in[1,2] tal que
p\text{(c)}=0.
Esse c é uma raiz de p no intervalo pedido.

Resposta

Existe c\in[1,2] tal que p\text{(c)}=0.

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