Exemplo 2.31 Mostre que existe uma raiz de
no intervalo
.
Solução: Primeiramente, observe que
e
Como
, então pelo teorema do valor intermediário existe
tal que
. Isto é,
é uma raiz de
.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pedido:
- A função polinomial
definida por . - O intervalo fechado
. - O que se pede: mostrar que existe uma raiz de
no intervalo ; isto é, provar que existe tal que .
Passo 2
O que significa “mostrar que existe uma raiz” de forma prática (dica para a prova): normalmente verifica-se o sinal de
nas extremidades do intervalo
. Se a função for contínua em
e os valores em
e
tiverem sinais opostos (um negativo e outro positivo), então existe um ponto
com
. Vou explicar por que isso vale e por que polinômios são contínuos.
Breve explicação de continuidade (na linguagem de prova da graduação, mas simples):
- Funções constantes e a função identidade
são contínuas. - Somar, multiplicar e compor funções contínuas resulta em funções contínuas.
- Um polinômio é obtido a partir da função identidade e constantes por soma e multiplicação (por exemplo
é , etc.). Logo, todo polinômio é contínuo em todo . Portanto é contínua em .
Enunciado útil (teorema que usaremos) — forma prática:
Em palavras: se uma função contínua toma valores de sinais opostos nas extremidades de um intervalo, o gráfico deve cruzar o eixo
em algum ponto desse intervalo.
Passo 3
Agora vamos calcular cuidadosamente
. Substituir
em
:
Calcule passo a passo:
Somando em ordem:
Portanto
Passo 4
Agora calculamos
. Substituir
:
Calcule passo a passo:
Somando em ordem:
Portanto
Passo 5
Aplicação do teorema explicado no Passo 2 com os números que encontramos:
- Já vimos que
é contínua em . - Encontramos
e . Assim e têm sinais opostos, i.e., .
Pelo teorema do valor intermediário (forma prática escrita no Passo 2), existe então algumtal que
Esse
é uma raiz de
no intervalo pedido.
Resposta
Existe
tal que
.