Determine se f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-1, \text { se } x \geq 3 \\\\ 5+2 x, \text { se } x<3\end{array}\right. é contínua em x=3. Faça o gráfico de f(x).
Aqui \lim_{x\to 3^-} f(x) é o limite quando x se aproxima de 3 pela esquerda (valores menores que 3), ou seja, olha-se a peça definida para x<3.
\lim_{x\to 3^+} f(x) é o limite quando x se aproxima de 3 pela direita (valores maiores que 3), ou seja, olha-se a peça definida para x\ge 3.
f(3) é o valor da função em x=3, determinado pela regra que vale em x=3 (aqui a peça com x\ge3).
Motivo prático: para funções polinomiais e lineares, o limite na aproximação é simplesmente o valor da expressão avaliada no ponto (essas funções são contínuas onde estão definidas). Então podemos calcular os limites simplesmente substituindo x=3 nas expressões apropriadas.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 3^-} f(x).
Para x<3 temos f(x)=5+2x, que é uma função linear e contínua, logo o limite pela esquerda é o valor desta expressão em x=3:
Explicação concreta: aproximando-se de 3 por valores maiores, x^{2}-1 tende a 8.
Passo 5
Calcular f(3) e comparar limites.
A definição da função diz que para x\ge 3 usamos x^{2}-1. Como 3 pertence à região x\ge3, temos
f(3)=3^{2}-1=8.
Agora comparamos: \lim_{x\to 3^-} f(x)=11, \lim_{x\to 3^+} f(x)=8 e f(3)=8.
Como as duas limites laterais não são iguais (11\neq 8), o limite \lim_{x\to 3} f(x) não existe. Consequentemente f NÃO é contínua em x=3.
Tipo de descontinuidade: é uma descontinuidade de salto (jump), porque existe uma diferença finita entre os valores à esquerda e à direita no ponto 3. Intuitivamente, a peça linear chega ao ponto (3,11) enquanto a peça parabólica toma o valor (3,8).
Passo 6
Como fazer o gráfico de f(x) — instruções detalhadas e pontos para desenhar (passo a passo, para você reproduzir à mão):
Desenhe eixos x e y.
Desenhe a reta y=5+2x apenas para x<3:
É uma reta com coeficiente angular 2 e intercepto em y=5.
Pontos úteis (todos em TeX): (2,\,5+2\cdot 2)=(2,\,9), (1,\,7), (0,\,5).
Ao chegar em x=3 a reta atinge o valor 5+2\cdot 3=11. Coloque um círculo aberto em (3,\,11) para indicar que esse ponto NÃO pertence à reta (porque a definição usa a outra peça em x=3).
Desenhe a parábola y=x^{2}-1 apenas para x\ge 3:
É a parábola usual com vértice em (0,\,-1), mas aqui só desenhamos a parte a partir de x=3 para a direita.
Pontos úteis: (3,\,8), (4,\,15), (5,\,24).
Em x=3 coloque um ponto sólido (preenchido) em (3,\,8) porque f(3)=8 está definido por essa peça.
Verifique que há um salto vertical entre o ponto da reta que se aproxima de x=3 (valor 11) e o ponto da parábola em x=3 (valor 8).
Resultado visual: para x<3 segue a reta crescente inclinada, terminando em um círculo aberto em (3,11); para x\ge3 parte do ponto sólido (3,8) e segue a parábola para a direita, crescendo rapidamente.
Dicas para desenhar rapidamente na prova: marque apenas os pontos (3,11) (aberto), (3,8) (cheio), mais um ou dois pontos em cada ramo (por exemplo (2,9) e (4,15)), e então ligue suavemente seguindo a forma da reta e da parábola.
Resposta
f não é contínua em x=3.\newline \lim_{x\to 3^-} f(x)=11\newline \lim_{x\to 3^+} f(x)=8\newline f(3)=8\newline
Gráfico: reta y=5+2x para x<3 com círculo aberto em (3,11); parábola y=x^{2}-1 para x\ge 3 com ponto cheio em (3,8).