Determine se f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-1, \text { se } x \geq 3 \\\\ 5+2 x, \text { se } x<3\end{array}\right. é contínua em x=3. Faça o gráfico de f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x\ge 3,\\[4pt] 5+2x, & \text{se } x<3. \end{cases}
O que é pedido:
  • Verificar se f é contínua em x=3.
  • Fazer o gráfico de f(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x à direita de 3 (ou igual a 3) a regra é \,x^{2}-1.
  • Para x à esquerda de 3 a regra é \,5+2x.
  • O ponto onde se deve testar continuidade é x=3.]

Passo 2

Relembrando o conceito de continuidade num ponto (explicação passo a passo):
  • Dizemos que f é contínua em x=3 se e somente se as três quantidades abaixo existirem e forem iguais:
\lim_{x\to 3^-} f(x),\qquad \lim_{x\to 3^+} f(x),\qquad f(3).
  • Aqui \lim_{x\to 3^-} f(x) é o limite quando x se aproxima de 3 pela esquerda (valores menores que 3), ou seja, olha-se a peça definida para x<3.
  • \lim_{x\to 3^+} f(x) é o limite quando x se aproxima de 3 pela direita (valores maiores que 3), ou seja, olha-se a peça definida para x\ge 3.
  • f(3) é o valor da função em x=3, determinado pela regra que vale em x=3 (aqui a peça com x\ge3).
Motivo prático: para funções polinomiais e lineares, o limite na aproximação é simplesmente o valor da expressão avaliada no ponto (essas funções são contínuas onde estão definidas). Então podemos calcular os limites simplesmente substituindo x=3 nas expressões apropriadas.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 3^-} f(x).
  • Para x<3 temos f(x)=5+2x, que é uma função linear e contínua, logo o limite pela esquerda é o valor desta expressão em x=3:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^-}(5+2x)=5+2\cdot 3=5+6=11.
Explicação concreta: à medida que x se aproxima de 3 vindo de valores menores, a expressão 5+2x tende a 11.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 3^+} f(x).
  • Para x\ge 3 temos f(x)=x^{2}-1, que é um polinômio (contínuo), então o limite pela direita é a avaliação em x=3:
\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^+}(x^{2}-1)=3^{2}-1=9-1=8.
Explicação concreta: aproximando-se de 3 por valores maiores, x^{2}-1 tende a 8.

Passo 5

Calcular f(3) e comparar limites.
  • A definição da função diz que para x\ge 3 usamos x^{2}-1. Como 3 pertence à região x\ge3, temos
f(3)=3^{2}-1=8.
  • Agora comparamos: \lim_{x\to 3^-} f(x)=11, \lim_{x\to 3^+} f(x)=8 e f(3)=8.
  • Como as duas limites laterais não são iguais ( 11\neq 8), o limite \lim_{x\to 3} f(x) não existe. Consequentemente f NÃO é contínua em x=3.
  • Tipo de descontinuidade: é uma descontinuidade de salto (jump), porque existe uma diferença finita entre os valores à esquerda e à direita no ponto 3. Intuitivamente, a peça linear chega ao ponto (3,11) enquanto a peça parabólica toma o valor (3,8).

Passo 6

Como fazer o gráfico de f(x) — instruções detalhadas e pontos para desenhar (passo a passo, para você reproduzir à mão):
  1. Desenhe eixos x e y.
  2. Desenhe a reta y=5+2x apenas para x<3:
    • É uma reta com coeficiente angular 2 e intercepto em y=5.
    • Pontos úteis (todos em TeX): (2,\,5+2\cdot 2)=(2,\,9), (1,\,7), (0,\,5).
    • Ao chegar em x=3 a reta atinge o valor 5+2\cdot 3=11. Coloque um círculo aberto em (3,\,11) para indicar que esse ponto NÃO pertence à reta (porque a definição usa a outra peça em x=3).
  3. Desenhe a parábola y=x^{2}-1 apenas para x\ge 3:
    • É a parábola usual com vértice em (0,\,-1), mas aqui só desenhamos a parte a partir de x=3 para a direita.
    • Pontos úteis: (3,\,8), (4,\,15), (5,\,24).
    • Em x=3 coloque um ponto sólido (preenchido) em (3,\,8) porque f(3)=8 está definido por essa peça.
  4. Verifique que há um salto vertical entre o ponto da reta que se aproxima de x=3 (valor 11) e o ponto da parábola em x=3 (valor 8).
  5. Resultado visual: para x<3 segue a reta crescente inclinada, terminando em um círculo aberto em (3,11); para x\ge3 parte do ponto sólido (3,8) e segue a parábola para a direita, crescendo rapidamente.
Dicas para desenhar rapidamente na prova: marque apenas os pontos (3,11) (aberto), (3,8) (cheio), mais um ou dois pontos em cada ramo (por exemplo (2,9) e (4,15)), e então ligue suavemente seguindo a forma da reta e da parábola.

Resposta

f não é contínua em x=3.\newline
\lim_{x\to 3^-} f(x)=11\newline
\lim_{x\to 3^+} f(x)=8\newline
f(3)=8\newline
Gráfico: reta y=5+2x para x<3 com círculo aberto em (3,11); parábola y=x^{2}-1 para x\ge 3 com ponto cheio em (3,8).

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