Determine se f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln x \text {, se } x \geq 1 \\\ x-1 \text {, se } x<1\end{array}\right. é contínua em x=1. Faça o gráfico de f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \ln x, & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] x-1, & \text{se } x<1, \end{cases}
e pede duas coisas: (1) determinar se f é contínua em x=1; (2) fazer o gráfico de f(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\ge 1 a expressão é \ln x.
  • Para x<1 a expressão é x-1.
  • O ponto em que se pergunta continuidade é x=1.]

Passo 2

Lembrete (definição de continuidade num ponto), explicado devagar: uma função f é contínua em x=1 se o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 existir e for igual ao valor f(1). Em fórmulas:
f \text{ é contínua em } x=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 1} f(x)=f(1).éí
Como \lim_{x\to 1} f(x) existe se e só se as duas limites laterais existem e são iguais, vamos calcular
\lim_{x\to 1^-} f(x),\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x),\qquad\text{e}\qquad f(1).

Passo 3

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 1^+} f(x). Para x>1 a regra da função é \ln x, e a função \ln x é contínua para x>0. Portanto basta avaliar em x=1:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} \ln x=\ln 1=0.
Explicando: como \ln é contínua, o limite ao aproximar de 1 é simplesmente o valor \ln 1, que vale 0.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 1^-} f(x). Para x<1 a regra é x-1, que é uma função polinomial (reta) e, portanto, contínua em todo lugar. Assim:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (x-1)=1-1=0.
Explicando: numa função linear x-1 pode-se simplesmente substituir x=1 para obter o limite; obtém-se 0.

Passo 5

Calcular o valor da função em x=1. Pela definição por partes, para x\ge 1 usa-se \ln x, logo
f(1)=\ln 1=0.

Passo 6

Comparar limites e valor: encontramos
\lim_{x\to 1^-} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=0,\qquad f(1)=0.
Como os limites laterais são iguais entre si e iguais a f(1), segue que \lim_{x\to 1} f(x)=f(1). Portanto f é contínua em x=1. (Um comentário amigo: às vezes parece assustador, mas aqui deu tudo igualzinho a 0, então a continuidade está garantida — respira.)

Passo 7

Observações adicionais úteis para o gráfico (e que ajudam a desenhar certinho):
  • Domínio da função: todos os reais, porque para x<1 a fórmula x-1 está definida em toda reta e para x\ge 1 a fórmula \ln x está definida em [1,\infty).
  • Para x<1 o gráfico é a reta y=x-1. Alguns pontos fáceis: (0,-1), (-1,-2). Ao aproximar de x=1 essa reta tende a (1,0) (mas a parte “reta” não inclui x=1).
  • Para x\ge 1 o gráfico é a curva y=\ln x. Em x=1 a curva passa por (1,0) e cresce lentamente para a direita.
  • No ponto x=1 as duas peças se encontram em y=0. A peça da direita inclui o ponto (1,0) (ponto preenchido); a peça da esquerda não inclui x=1 (seria um círculo aberto ali), mas como o ramo direito tem o ponto preenchido, o gráfico tem um ponto preenchido em (1,0) e a função é contínua.

Passo 8

Como desenhar o gráfico passo a passo (faça à mão no caderno):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque o ponto (1,0).
  2. Desenhe para x<1 a reta y=x-1. Trace a linha passando por (0,-1) e (-1,-2). No ponto (1,0) desta reta faça um círculo aberto (porque a definição dessa peça não inclui x=1).
  3. Para x\ge 1 desenhe a curva y=\ln x. Comece em (1,0) com um ponto preenchido (porque \ln x está definido e corresponde ao valor da função em 1), e faça a curva aumentando lentamente para a direita. Não desenhe a curva \ln x para x<1 (não faz parte da peça direita).
  4. Verifique visualmente que os dois ramos se tocam em (1,0), mostrando continuidade.
Dica visual: como a reta tem inclinação 1 e a derivada de \ln x em 1 é 1 também (porque (\ln x)'=1/x e (\ln x)'|_{x=1}=1), os dois ramos não só se encontram em altura, como têm a mesma inclinação em 1 — o gráfico fica bem “liso” ali (a função é até diferenciável em 1, mas isso é extra além do pedido).

Resposta

Sim. f é contínua em x=1 e f(1)=0.

Exercícios relacionados