Determine se
é contínua em
. Faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede duas coisas: (1) determinar se
é contínua em
; (2) fazer o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Para
a expressão é . - Para
a expressão é . - O ponto em que se pergunta continuidade é
.]
Passo 2
Lembrete (definição de continuidade num ponto), explicado devagar: uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
existir e for igual ao valor
. Em fórmulas:
Como
existe se e só se as duas limites laterais existem e são iguais, vamos calcular
Passo 3
Calcular o limite pela direita
. Para
a regra da função é
, e a função
é contínua para
. Portanto basta avaliar em
:
Explicando: como
é contínua, o limite ao aproximar de
é simplesmente o valor
, que vale
.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda
. Para
a regra é
, que é uma função polinomial (reta) e, portanto, contínua em todo lugar. Assim:
Explicando: numa função linear
pode-se simplesmente substituir
para obter o limite; obtém-se
.
Passo 5
Calcular o valor da função em
. Pela definição por partes, para
usa-se
, logo
Passo 6
Comparar limites e valor: encontramos
Como os limites laterais são iguais entre si e iguais a
, segue que
. Portanto
é contínua em
. (Um comentário amigo: às vezes parece assustador, mas aqui deu tudo igualzinho a
, então a continuidade está garantida — respira.)
Passo 7
Observações adicionais úteis para o gráfico (e que ajudam a desenhar certinho):
- Domínio da função: todos os reais, porque para
a fórmula está definida em toda reta e para a fórmula está definida em . - Para
o gráfico é a reta . Alguns pontos fáceis: , . Ao aproximar de essa reta tende a (mas a parte “reta” não inclui ). - Para
o gráfico é a curva . Em a curva passa por e cresce lentamente para a direita. - No ponto
as duas peças se encontram em . A peça da direita inclui o ponto (ponto preenchido); a peça da esquerda não inclui (seria um círculo aberto ali), mas como o ramo direito tem o ponto preenchido, o gráfico tem um ponto preenchido em e a função é contínua.
Passo 8
Como desenhar o gráfico passo a passo (faça à mão no caderno):
- Desenhe os eixos
e e marque o ponto . - Desenhe para
a reta . Trace a linha passando por e . No ponto desta reta faça um círculo aberto (porque a definição dessa peça não inclui ). - Para
desenhe a curva . Comece em com um ponto preenchido (porque está definido e corresponde ao valor da função em ), e faça a curva aumentando lentamente para a direita. Não desenhe a curva para (não faz parte da peça direita). - Verifique visualmente que os dois ramos se tocam em
, mostrando continuidade.
Dica visual: como a reta tem inclinação
e a derivada de
em
é
também (porque
e
), os dois ramos não só se encontram em altura, como têm a mesma inclinação em
— o gráfico fica bem “liso” ali (a função é até diferenciável em
, mas isso é extra além do pedido).
Resposta
Sim.
é contínua em
e
.