Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a razão entre
e . - A variável tende para
.
Passo 2
Mudança de variável para simplificar a expressão. Defino
Explico o porquê: quando
, a quantidade
, então
. Além disso,
Essa substituição torna a expressão mais fácil de comparar com limites fundamentais quando o argumento da tangente tende a zero.
Passo 3
Reescrevo o limite em função de
. Substituindo
e
na expressão, obtenho
Calculando
, isso fica
Passo 4
Agora preciso do valor de
. Uso a identidade
, então
Conhecemos o limite fundamental
Breve justificativa desse fato (essencial para provas de limites): para
pequeno e positivo tem-se a desigualdade
; dividindo por
vem
, isto é
. Fazendo
e usando
obtemos
. Para
negativo, a função
é par, então o limite também é
.
Como , pelo produto de limites segue
Como
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 3, substituo o valor encontrado: