Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\operatorname{tg}^{3}\left(\frac{\pi-x}{4}\right)}{(\pi-x)^{3}}\'

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{\operatorname{tg}^{3}\!\left(\frac{\pi-x}{4}\right)}{(\pi-x)^{3}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão entre \operatorname{tg}^{3}\!\left(\frac{\pi-x}{4}\right) e (\pi-x)^{3}.
  • A variável tende para x=\pi.

Passo 2

Mudança de variável para simplificar a expressão. Defino
u=\frac{\pi-x}{4}.
Explico o porquê: quando x\to\pi, a quantidade \pi-x\to0, então u\to0. Além disso,
\pi-x=4u.
Essa substituição torna a expressão mais fácil de comparar com limites fundamentais quando o argumento da tangente tende a zero.

Passo 3

Reescrevo o limite em função de u. Substituindo \pi-x=4u e \frac{\pi-x}{4}=u na expressão, obtenho
\lim_{x\to\pi} \frac{\operatorname{tg}^{3}\!\left(\frac{\pi-x}{4}\right)}{(\pi-x)^{3}} = \lim_{u\to0} \frac{\operatorname{tg}^{3}(u)}{(4u)^{3}}.
Calculando (4u)^{3}=64u^{3}, isso fica
\lim_{u\to0} \frac{\operatorname{tg}^{3}(u)}{64u^{3}} = \frac{1}{64}\,\lim_{u\to0}\left(\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}\right)^{3}.

Passo 4

Agora preciso do valor de \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}. Uso a identidade \operatorname{tg}u=\dfrac{\sin u}{\cos u}, então
\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}.
Conhecemos o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
Breve justificativa desse fato (essencial para provas de limites): para u pequeno e positivo tem-se a desigualdade \sin u < u < \tan u; dividindo por \sin u>0 vem 1 < \dfrac{u}{\sin u} < \dfrac{1}{\cos u}, isto é \cos u < \dfrac{\sin u}{u} < 1. Fazendo u\to0 e usando \lim_{u\to0}\cos u=1 obtemos \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Para u negativo, a função \sin u / u é par, então o limite também é 1.
Como \lim_{u\to0}\cos u=1, pelo produto de limites segue
\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{tg}(u)}{u} = \left(\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}\right)\cdot\left(\lim_{u\to0}\frac{1}{\cos u}\right) = 1\cdot 1 = 1.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3, substituo o valor encontrado:
\frac{1}{64}\,\lim_{u\to0}\left(\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}\right)^{3} = \frac{1}{64}\cdot 1^{3} = \frac{1}{64}.

Resposta

\dfrac{1}{64}

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