Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)-1}{x} \quad \mathrm{R}: 0

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}.
Informações dadas:
  • A função envolvida é \cos(x).
  • Quer-se o valor do quociente \dfrac{\cos(x)-1}{x} quando x tende a 0.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica para reescrever a expressão de forma útil. A identidade de ângulo duplo para cosseno é
\cos(2t)=1-2\sin^2(t).
Tomando t=\dfrac{x}{2} obtemos
\cos(x)=1-2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Subtraindo 1 dos dois lados vem
\cos(x)-1=-2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 3

Substituindo essa expressão no limite original:
\frac{\cos(x)-1}{x}=\frac{-2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x}.
Agora manipular algebricamente para evidenciar um fator conhecido. Escrevendo \sin^2 como quadrado e extraindo fatores:
\frac{-2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x}=-2\cdot\frac{\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x} =-2\cdot\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\!2}\cdot\frac{\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}}{x}.
Calcular \dfrac{(\tfrac{x}{2})^{2}}{x}:
\frac{\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}}{x}=\frac{x^{2}}{4}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{4}.
Portanto
\frac{\cos(x)-1}{x}=-2\cdot\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\!2}\cdot\frac{x}{4} =-\frac{x}{2}\cdot\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\!2}.

Passo 4

Agora usamos um resultado fundamental sobre seno: \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1. Vou justificar esse limite de forma clássica (teorema do aperto / squeeze):
Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale geometricamente que \sin u < u < \tan u. Dividindo essa desigualdade por \sin u (positivo nesse intervalo) obtém-se
1 < \frac{u}{\sin u} < \frac{1}{\cos u}.
Inversando os termos (mantendo a desigualdade na direção correta) tem-se
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Como \lim_{u\to 0}\cos u=1, pelo princípio do aperto segue \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Para valores negativos de u resulta o mesmo limite por simetria (função seno ímpar), então a propriedade é válida para u\to 0 bilateralmente.

Passo 5

Aplicar o resultado do passo anterior com u=\dfrac{x}{2}. Quando x\to 0 temos u=\dfrac{x}{2}\to 0, logo
\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}=1.
Então o quadrado também tende a 1:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\!2}=1.
Além disso \lim_{x\to 0}\left(-\dfrac{x}{2}\right)=0. Como o produto de limites existe, obtemos
\lim_{x\to 0}\left(-\frac{x}{2}\cdot\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\!2}\right) =\left(\lim_{x\to 0}-\frac{x}{2}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\!2}\right) =0\cdot 1=0.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0.

Resposta

0

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