Determine \left(f^{-1}\right)^{\prime}(y) nos pontos indicados, nos casos a seguir:
f(x)=\frac{3 x-2}{x+2} ; \quad y=2.

Passo 1

O enunciado dá a função f e um valor de y:
  • f(x)=\dfrac{3x-2}{x+2}.
  • Queremos o valor de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(y) no ponto y=2.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função está definida para x\neq -2 (pois o denominador não pode ser zero).
  • Precisamos encontrar a derivada da função inversa no ponto y=2. Para isso será necessário achar o x tal que f(x)=2 (ou seja, o antecedente de y=2) e depois usar a relação entre a derivada da inversa e a derivada da função original.

Passo 2

Fórmula e ideia que vou usar (explicada passo a passo):
  • Se y=f(x) e f é invertível numa vizinhança de x (em particular se f'(x)\neq 0), então a derivada da inversa satisfaz
\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)=\frac{1}{f'(x)},
onde x=f^{-1}(y).
Explicação intuitiva e derivação rápida (para você não levar isso como mágica):
  • Partimos de y=f(x). Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos \dfrac{dy}{dx}=f'(x).
  • Invertendo a derivada (pensando em x como função de y) temos \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{f'(x)}.
  • Mas \dfrac{dx}{dy} é exatamente \left(f^{-1}\right)^{\prime}(y). Portanto a fórmula vale.
  • Observação importante: só podemos fazer isso onde f'(x)\neq 0, caso contrário a inversa não é diferenciável aí.

Passo 3

Encontrar o antecedente x_0 tal que f(x_0)=2. Ou seja resolver a equação
\frac{3x-2}{x+2}=2.
Faço a álgebra passo a passo:
3x-2 = 2(x+2) \quad\text{(multiplicando ambos os lados por }x+2\text{, válido se }x\neq -2\text{)}á
3x-2 = 2x+4
3x-2x = 4+2
x = 6.
Portanto o antecedente de y=2 é x_0=6. Nota: x_0=6\neq -2, então a operação foi válida.

Passo 4

Calcular f'(x). A função é uma razão de duas funções lineares, então uso a regra do quociente. Regra do quociente (explicada): se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
No nosso caso u(x)=3x-2 e v(x)=x+2. Derivo cada parte:
u'(x)=3,\qquad v'(x)=1.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{3\,(x+2)-(3x-2)\cdot 1}{(x+2)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
3(x+2)=3x+6,
3x+6-(3x-2)=3x+6-3x+2=8.
Logo
f'(x)=\frac{8}{(x+2)^{2}}.

Passo 5

Avaliar f'(x) no antecedente x_0=6:
f'(6)=\frac{8}{(6+2)^{2}}=\frac{8}{8^{2}}=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}.
Verifico a condição: f'(6)=\dfrac{1}{8}\neq 0, então a inversa é diferenciável em y=2 e posso aplicar a fórmula da inversa.

Passo 6

Usar a fórmula da derivada da inversa:
\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)=\frac{1}{f'(6)}=\frac{1}{\tfrac{1}{8}}=8.

Resposta

\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)=8

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