Determine
nos pontos indicados, nos casos a seguir:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e um valor de
:
-
. - Queremos o valor de
no ponto .
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função está definida para
(pois o denominador não pode ser zero). - Precisamos encontrar a derivada da função inversa no ponto
. Para isso será necessário achar o tal que (ou seja, o antecedente de ) e depois usar a relação entre a derivada da inversa e a derivada da função original.
Passo 2
Fórmula e ideia que vou usar (explicada passo a passo):
- Se
e é invertível numa vizinhança de (em particular se ), então a derivada da inversa satisfaz
onde
.
Explicação intuitiva e derivação rápida (para você não levar isso como mágica):
- Partimos de
. Diferenciando ambos os lados em relação a obtemos . - Invertendo a derivada (pensando em
como função de ) temos . - Mas
é exatamente . Portanto a fórmula vale. - Observação importante: só podemos fazer isso onde
, caso contrário a inversa não é diferenciável aí.
Passo 3
Encontrar o antecedente
tal que
. Ou seja resolver a equação
Faço a álgebra passo a passo:
Portanto o antecedente de
é
. Nota:
, então a operação foi válida.
Passo 4
Calcular
. A função é uma razão de duas funções lineares, então uso a regra do quociente. Regra do quociente (explicada): se
com
e
diferenciáveis e
, então
No nosso caso
e
. Derivo cada parte:
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Logo
Passo 5
Avaliar
no antecedente
:
Verifico a condição:
, então a inversa é diferenciável em
e posso aplicar a fórmula da inversa.
Passo 6
Usar a fórmula da derivada da inversa: