Determine se S=\left\{\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right]\right\} é uma base de M_{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se
S=\left\{\;A_1=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix},\; A_4=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}\;\right\}
é uma base do espaço M_{2} (o espaço das matrizes 2\times2).
Informações dadas:
  • Os quatro elementos de S são as matrizes A_1,A_2,A_3,A_4 mostradas acima.
  • Não há outras informações adicionais no enunciado.]

Passo 2

O que significa ser uma base — aula rápida e prática:
  • Uma coleção de vetores (aqui: matrizes) é uma base de um espaço vetorial quando é linearmente independente e gera (span) todo o espaço.
  • O espaço M_{2} (matrizes 2\times2 sobre \mathbb{R}, presumindo reais) tem dimensão 4. Isso porque uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
é determinada por quatro entradas a,b,c,d.
  • Consequência prática: um conjunto de exatamente 4 matrizes em M_{2} é base se, e somente se, for linearmente independente (isto já garante que elas geram o espaço, por contagem de dimensões).
Método que vou usar (explicado): identificar cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 e verificar se esses quatro vetores são linearmente independentes. A forma limpa de fazer isso é montar uma matriz 4\times4 cujas colunas são esses vetores; se o determinante dessa matriz for diferente de zero então as colunas são linearmente independentes.
Observação sobre a identificação (vectorização): escolho a ordem das entradas da matriz como (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}). Isso é só uma convenção; qualquer ordem fixa funciona desde que seja aplicada consistentemente.]

Passo 3

Transformando cada A_i em um vetor coluna usando a ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}):
A_1 \mapsto v_1 = \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad A_2 \mapsto v_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad A_3 \mapsto v_3 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad A_4 \mapsto v_4 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Formo a matriz 4\times4 com essas colunas:
M=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 2\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Agora vou calcular \det(M). Se \det(M)\neq0 então v_1,v_2,v_3,v_4 são linearmente independentes e, portanto, S é base de M_{2}.]

Passo 4

Cálculo do determinante por expansão na primeira coluna (aproveita que a coluna tem zeros):
\det(M)=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+1} m_{i1}\det(M_{i1}).
Na primeira coluna só aparecem m_{11}=2, m_{21}=0, m_{31}=0, m_{41}=3. Assim
\det(M)=2\det(B)-3\det\text{(C)},
onde
B=\begin{pmatrix}4 & 1 & 1\\[4pt]0 & 3 & 2\\[4pt]1 & 2 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]4 & 1 & 1\\[4pt]0 & 3 & 2\end{pmatrix}
são os menores correspondentes (removendo linha e coluna adequadas). Vou calcular \det(B) e \det\text{(C)} separadamente.]

Passo 5

Cálculo de \det(B). Para uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\[4pt] x_{21} & x_{22} & x_{23}\\[4pt] x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}
a fórmula direta é
\det = x_{11}(x_{22}x_{33}-x_{23}x_{32}) - x_{12}(x_{21}x_{33}-x_{23}x_{31}) + x_{13}(x_{21}x_{32}-x_{22}x_{31}).
Aplicando a B:
\det(B)=4\bigl(3\cdot0-2\cdot2\bigr)-1\bigl(0\cdot0-2\cdot1\bigr)+1\bigl(0\cdot2-3\cdot1\bigr).
Calcule passo a passo:
4(0-4)-1(0-2)+1(0-3)=4(-4)-1(-2)+1(-3)=-16+2-3=-17.
Logo \det(B)=-17.]

Passo 6

Cálculo de \det\text{(C)}. Usando a mesma fórmula para C:
\det\text{(C)}=1\bigl(1\cdot2-1\cdot3\bigr)-0\bigl(4\cdot2-1\cdot0\bigr)+0\bigl(4\cdot3-1\cdot0\bigr).
Os segundos e terceiros termos são multiplicados por zero, então só resta:
\det\text{(C)}=1(2-3)=-1.

Passo 7

Agora volto para \det(M)=2\det(B)-3\det\text{(C)}:
\det(M)=2(-17)-3(-1)=-34+3=-31.
Como \det(M)=-31\neq0, concluímos que as quatro colunas são linearmente independentes em \mathbb{R}^4. Portanto as quatro matrizes em S são linearmente independentes em M_{2}. Pelo fato de haver exatamente 4 vetores em um espaço de dimensão 4, a independência implica que eles geram o espaço inteiro. Assim S é uma base de M_{2}.
Pequeno incentivo: ufa — deu trabalho, mas a conta mostrou \det\neq0, então está tudo certo: elas formam base!

Resposta

Sim. S é uma base de M_{2}.

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