é uma base do espaço M_{2} (o espaço das matrizes 2\times2).
Informações dadas:
Os quatro elementos de S são as matrizes A_1,A_2,A_3,A_4 mostradas acima.
Não há outras informações adicionais no enunciado.]
Passo 2
O que significa ser uma base — aula rápida e prática:
Uma coleção de vetores (aqui: matrizes) é uma base de um espaço vetorial quando é linearmente independente e gera (span) todo o espaço.
O espaço M_{2} (matrizes 2\times2 sobre \mathbb{R}, presumindo reais) tem dimensão 4. Isso porque uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
é determinada por quatro entradas a,b,c,d.
Consequência prática: um conjunto de exatamente 4 matrizes em M_{2} é base se, e somente se, for linearmente independente (isto já garante que elas geram o espaço, por contagem de dimensões).
Método que vou usar (explicado): identificar cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 e verificar se esses quatro vetores são linearmente independentes. A forma limpa de fazer isso é montar uma matriz 4\times4 cujas colunas são esses vetores; se o determinante dessa matriz for diferente de zero então as colunas são linearmente independentes.
Observação sobre a identificação (vectorização): escolho a ordem das entradas da matriz como (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}). Isso é só uma convenção; qualquer ordem fixa funciona desde que seja aplicada consistentemente.]
Passo 3
Transformando cada A_i em um vetor coluna usando a ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}):
Os segundos e terceiros termos são multiplicados por zero, então só resta:
\det\text{(C)}=1(2-3)=-1.
Passo 7
Agora volto para \det(M)=2\det(B)-3\det\text{(C)}:
\det(M)=2(-17)-3(-1)=-34+3=-31.
Como \det(M)=-31\neq0, concluímos que as quatro colunas são linearmente independentes em \mathbb{R}^4. Portanto as quatro matrizes em S são linearmente independentes em M_{2}. Pelo fato de haver exatamente 4 vetores em um espaço de dimensão 4, a independência implica que eles geram o espaço inteiro. Assim S é uma base de M_{2}.
Pequeno incentivo: ufa — deu trabalho, mas a conta mostrou \det\neq0, então está tudo certo: elas formam base!