Determine se S é uma base de \mathbb{R}^{3}. Se for, escreva \mathbf{u}=(8,3,8) como vetores em S : S=\{(0,0,0),(1,3,4),(6,1,-2)\}
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
S=\{(0,0,0),(1,3,4),(6,1,-2)\}
e o vetor
\mathbf{u}=(8,3,8).
As perguntas que o enunciado faz são:
Determinar se S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Se S for base, escrever \mathbf{u} como combinação linear dos vetores de S.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma prática e didática, o que significa ser uma base de \mathbb{R}^{3}.
Um conjunto de vetores é base de \mathbb{R}^{3} se satisfaz duas condições simultâneas:
Os vetores são linearmente independentes.
Os vetores geram (ou span) todo \mathbb{R}^{3}, ou seja, qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear deles.
Definição de independência linear: vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_k são linearmente independentes se a única solução do sistemac_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}é c_1=c_2=\cdots=c_k=0. Se existir uma combinação com coeficientes não todos nulos que dá \mathbf{0}, então são linearmente dependentes.
Observação prática importante: se o conjunto contém o vetor (0,0,0), isso já oferece uma combinação linear com coeficiente não nulo que resulta no vetor nulo (basta escolher coeficiente não nulo para (0,0,0) e zeros para os outros). Portanto, qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente.
Passo 3
Aplicando a observação: S contém o vetor (0,0,0). Logo existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo, por exemplo
Como essa combinação tem coeficiente 1 (não nulo) para o vetor nulo, concluímos que os vetores de S são linearmente dependentes. Portanto, a condição de independência linear falha.
Passo 4
Como S não é linearmente independente, S não pode ser uma base de \mathbb{R}^{3} (uma base precisa ser independente). Então a resposta à primeira pergunta já é “não”. Mesmo assim, é pedagógico verificar se \mathbf{u} pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S (às vezes um conjunto dependente ainda gera todo \mathbb{R}^{3} — aqui veremos que não).
Passo 5
Montamos a tentativa de escrever \mathbf{u} como combinação linear dos vetores de S. Seja
Mas a terceira equação exige que isso seja igual a 8. Como
-\frac{2}{17} \neq 8,
as três equações são inconsistentes: não existe (\beta,\gamma) que satisfaça simultaneamente as três equações. Portanto \mathbf{u} não pertence ao subespaço gerado pelos vetores de S.
Passo 7
Resumo do raciocínio (amigo e encorajador): S contém o vetor nulo, então é automaticamente linearmente dependente e não pode ser base de \mathbb{R}^{3}. Além disso, ao tentar escrever \mathbf{u} como combinação linear dos vetores de S encontramos um sistema inconsistente, logo \mathbf{u} não é combinação linear desses vetores. Tudo bem — foi um bom exercício: reconhecer rapidamente o papel do vetor nulo e praticar a checagem de consistência de sistemas lineares. Força nos estudos — você tá indo bem!
Resposta
Não, S não é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Não é possível escrever \mathbf{u}=(8,3,8) como combinação linear dos vetores de S.