Determine \left[\mathrm{FeF}_{6}{ }^{3-}\right] em uma solução que tem \left[\mathrm{Fe}^{3+}\right]=0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e \left[\mathrm{F}^{-}\right]=0,50 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Desconsidere a possível hidrólise do íon fluoreto. \mathrm{K} f=1,0 \times 1016 para \left[\mathrm{FeF}_{6}{ }^{3-}\right].

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Dados iniciais:
    • \left[\mathrm{Fe}^{3+}\right]_0 = 0,10\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
    • \left[\mathrm{F}^{-}\right]_0 = 0,50\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
    • Constante de formação: K_f para \left[\mathrm{FeF}_{6}^{3-}\right] vale K_f = 1,0\times10^{16}.
  • Observação do enunciado: desconsiderar hidrólise do \mathrm{F}^{-}.
  • Pergunta: determinar \left[\mathrm{FeF}_{6}^{3-}\right] em equilíbrio na solução.

Passo 2

Escrevendo a reação de formação do complexo e a expressão da constante de formação:
\mathrm{Fe}^{3+} + 6\,\mathrm{F}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{FeF}_{6}^{3-}
A constante de formação é definida por
K_f=\dfrac{\left[\mathrm{FeF}_{6}^{3-}\right]}{\left[\mathrm{Fe}^{3+}\right]\left[\mathrm{F}^{-}\right]^6}.
Essa expressão relaciona a concentração do complexo no equilíbrio com as concentrações dos reagentes livres no equilíbrio.

Passo 3

Definimos a variável que vamos calcular. Seja x=\left[\mathrm{FeF}_{6}^{3-}\right]_{\text{eq}}, a concentração de complexo formada em equilíbrio. Então as concentrações em equilíbrio são:
\left[\mathrm{FeF}_{6}^{3-}\right]=x, \quad \left[\mathrm{Fe}^{3+}\right]=0,10-x, \quad \left[\mathrm{F}^{-}\right]=0,50-6x.
Essas expressões vêm diretamente da estequiometria: para cada mol de complexo formado consome-se 1 mol de \mathrm{Fe}^{3+} e 6 mols de \mathrm{F}^{-}.

Passo 4

Antes de resolver exatamente, vale ver qual reagente pode limitar a formação do complexo se a reação fosse completa: a quantidade máxima de complexo, se todo o fluoreto fosse consumido, seria
x_{\max}=\dfrac{0,50}{6}=0,083333\ldots\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Comparando com \left[\mathrm{Fe}^{3+}\right]_0=0,10, vemos que o fluoreto é o reagente limitante estequiométrico (porque seria necessário 6\times0,10=0,60 de \mathrm{F}^{-} para complexar todo o ferro, e só há 0,50 disponível). Além disso, K_f é muito grande ( 10^{16}), ou seja, o equilíbrio favorece fortemente a formação do complexo — por isso esperamos x muito próximo de x_{\max}, mas ligeiramente menor.

Passo 5

Escrevemos a equação de equilíbrio substituindo as concentrações em termos de x:
K_f=\dfrac{x}{(0,10-x)(0,50-6x)^6}.
Queremos resolver essa equação para x. Como K_f é enorme, é conveniente fazer uma aproximação considerando que x está muito próximo de x_{\max}. Para organizar a aproximação, define-se a pequena diferença
y=x_{\max}-x,
onde y>0 e é pequeno. Assim
x=x_{\max}-y,\qquad 0,50-6x=6y,\qquad 0,10-x=0,10-x_{\max}+y.
Note que 0,10-x_{\max}=0,10-\dfrac{0,50}{6}=0,10-\dfrac{1}{12}=0,016666\ldots (exatamente 1/60).

Passo 6

Reescrevendo K_f em termos de y:
K_f=\dfrac{x_{\max}-y}{\bigl(0,016666\ldots+y\bigr)\,(6y)^6}.
Como y é pequeno em comparação com 0,016666\ldots, podemos, na primeira aproximação, desprezar y no somando 0,016666\ldots+y (isso só afeta alguns por cento, como será verificado). Assim obtemos a aproximação
K_f \approx \dfrac{x_{\max}}{0,016666\ldots\,(6y)^6}.
Agora isolamos y:
(6y)^6 \approx \dfrac{x_{\max}}{0,016666\ldots\,K_f}.
Calculemos o fator na direita. Como x_{\max}=\dfrac{0,50}{6}=\dfrac{1}{12} e 0,016666\ldots=\dfrac{1}{60},
\dfrac{x_{\max}}{0,016666\ldots}=\dfrac{\tfrac{1}{12}}{\tfrac{1}{60}}=5.
Logo
(6y)^6 \approx \dfrac{5}{K_f}=\dfrac{5}{1,0\times10^{16}}=5\times10^{-16}.
Tomando a raiz sexta (potência 1/6):
6y \approx (5\times10^{-16})^{1/6}.
Para calcular numericamente, usamos logaritmo base 10:
\log_{10}(5\times10^{-16})=\log_{10}5-16\approx 0,69897-16=-15,30103.
Dividindo por 6:
\log_{10}(6y)\approx -2,5501717,
portanto
6y\approx 10^{-2,5501717}\approx 0,002817.
Isolando y:
y\approx \dfrac{0,002817}{6}\approx 0,0004695.

Passo 7

Agora voltamos a x:
x=x_{\max}-y = 0,083333\ldots - 0,0004695 \approx 0,0828638\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos (dados iniciais têm 2 ou 3 algarismos significativos), podemos apresentar
\left[\mathrm{FeF}_{6}^{3-}\right]\approx 0,0829\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Verificação rápida da consistência da aproximação: y/0,016666\ldots\approx 0,0004695/0,0166667\approx0,028 (≈2,8%), ou seja, desprezar y na soma deu erro de só alguns por cento na etapa intermediária, compatível com a precisão apresentada.

Resposta

0,0829\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}

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