Determine a solubilidade do \mathrm{Zn}(\mathrm{OH})_{2} em uma solução que contém [\mathrm{NaOH}]=0,25 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} . \mathrm{Kps} \mathrm{Zn}(\mathrm{OH})_{2}=1,2 \times 10-17 e \mathrm{Kf}=4,6 \times 1017 para \mathrm{Zn}(\mathrm{OH})_{4}{ }^{2-}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
  • Dados:
    • [\mathrm{NaOH}]_{\text{inicial}} = 0,25\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    • \mathrm{K_{sp}} de \mathrm{Zn(OH)_2}: \mathrm{K_{sp}} = 1,2\times10^{-17}.
    • \mathrm{K_f} para \mathrm{Zn(OH)_4^{2-}}: \mathrm{K_f} = 4,6\times10^{17}.
  • O que se pede:
    • A solubilidade do \mathrm{Zn(OH)_2} na solução com [\mathrm{NaOH}]=0,25\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Ou seja, quantos mols de Zn (por litro) dissolvem sob essas condições (solubilidade em \mathrm{mol\;L^{-1}}).

Passo 2

Definições, incógnitas e os equilíbrios relevantes — explico cada coisa devagar:
  • Vamos chamar:
    • \;s\; = solubilidade total do \mathrm{Zn(OH)_2} (mol de Zn dissolvido por L). É o que queremos.
    • \;[{\rm Zn^{2+}}]=x\; (concentração do íon zinco livre).
    • \;[\mathrm{Zn(OH)_4^{2-}}]=y\; (concentração do complexo hidroxo).
    • \;[\mathrm{OH^-}]_{\text{eq}}=b\; (concentração de hidróxido no equilíbrio).
  • Reações e constantes:
    • Dissolução do sal: \mathrm{Zn(OH)_2(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Zn^{2+}} + 2\mathrm{OH^-},com \mathrm{K_{sp}} = [\mathrm{Zn^{2+}}][\mathrm{OH^-}]^2 = x\,b^2.Isso significa que, para um dado b, a concentração de \mathrm{Zn^{2+}} que pode coexistir com o sólido é \;x=\dfrac{\mathrm{K_{sp}}}{b^2}.
    • Formação do complexo: \mathrm{Zn^{2+}} + 4\mathrm{OH^-} \rightleftharpoons \mathrm{Zn(OH)_4^{2-}},com \mathrm{K_f} = \dfrac{[\mathrm{Zn(OH)_4^{2-}}]}{[\mathrm{Zn^{2+}}][\mathrm{OH^-}]^4} = \dfrac{y}{x\,b^4}.Isso permite escrever y = \mathrm{K_f}\,x\,b^4.
  • Balanço de massa do zinco: s = x + y,pois todo zinco dissolvido está como \mathrm{Zn^{2+}} livre ou como complexo \mathrm{Zn(OH)_4^{2-}}.

Passo 3

Usar as relações das constantes para eliminar x e y em função de b:
  • Da expressão do \mathrm{K_{sp}}: x = \dfrac{\mathrm{K_{sp}}}{b^2}.
  • Substituindo x na expressão de y: y = \mathrm{K_f}\,x\,b^4 = \mathrm{K_f}\,\dfrac{\mathrm{K_{sp}}}{b^2}\,b^4 = \mathrm{K_f}\,\mathrm{K_{sp}}\,b^2.Observação: essa igualdade mostra que, para um dado b, a concentração do complexo depende de b^2 e das constantes.
  • Logo: s = x + y = \dfrac{\mathrm{K_{sp}}}{b^2} + \mathrm{K_f}\,\mathrm{K_{sp}}\,b^2.

Passo 4

Balanço de carga/íons para o \mathrm{OH^-} (importantíssimo, porque a formação do complexo consome muitos \mathrm{OH^-}):
  • Origem/consumo de \mathrm{OH^-}:
    • \mathrm{OH^-} inicial (provido pelo \mathrm{NaOH}) = 0,25\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    • Cada mol de \mathrm{Zn(OH)_2} que dissolve (isto é, cada mol de Zn dissolvido) libera 2 mols de \mathrm{OH^-}. Como s é a molaridade de Zn dissolvido, a contribuição é +2s.
    • A formação do complexo \mathrm{Zn(OH)_4^{2-}} consome 4 mols de \mathrm{OH^-} por mol de complexo formado, logo consumo 4y.
  • Assim, a concentração de \mathrm{OH^-} no equilíbrio é: b = 0,25 + 2s - 4y.(sinaliza: começa com 0,25, ganha 2s da dissolução e perde 4y por complexação.)

Passo 5

Substituir s e y (obtidos em função de b) na equação do \mathrm{OH^-} e obter uma equação só em b:
  • Substituindo s = \dfrac{\mathrm{K_{sp}}}{b^2} + \mathrm{K_f}\,\mathrm{K_{sp}}\,b^2 e y = \mathrm{K_f}\,\mathrm{K_{sp}}\,b^2 em b = 0,25 + 2s - 4y: b = 0,25 + 2\!\left(\dfrac{\mathrm{K_{sp}}}{b^2} + \mathrm{K_f}\,\mathrm{K_{sp}}\,b^2\right) - 4\left(\mathrm{K_f}\,\mathrm{K_{sp}}\,b^2\right).
  • Agrupando termos: b = 0,25 + \dfrac{2\mathrm{K_{sp}}}{b^2} + 2\mathrm{K_f}\mathrm{K_{sp}}\,b^2 - 4\mathrm{K_f}\mathrm{K_{sp}}\,b^2
b = 0,25 + \dfrac{2\mathrm{K_{sp}}}{b^2} - 2\mathrm{K_f}\mathrm{K_{sp}}\,b^2.
  • Multiplicando por b^2 para eliminar o denominador: b^3 = 0,25\,b^2 + 2\mathrm{K_{sp}} - 2\mathrm{K_f}\mathrm{K_{sp}}\,b^4.Reescrevendo: 2\mathrm{K_f}\mathrm{K_{sp}}\,b^4 + b^3 - 0,25\,b^2 - 2\mathrm{K_{sp}} = 0.

Passo 6

Agora vamos inserir os valores numéricos e simplificar com justificativa de aproximação:
  • Primeiro calcule \mathrm{K_f}\mathrm{K_{sp}}: \mathrm{K_f}\mathrm{K_{sp}} = (4,6\times10^{17})\,(1,2\times10^{-17}) = 4,6\times1,2 \times 10^{0} = 5,52.
  • Como \mathrm{K_{sp}} é muito pequeno ( 1,2\times10^{-17}), o termo constante -2\mathrm{K_{sp}} na equação é -2,4\times10^{-17}, totalmente desprezível frente aos demais termos (ordens de grandeza bem maiores). Podemos então aproximar a equação por: 2\cdot5{,}52\,b^4 + b^3 - 0,25\,b^2 \approx 0.Ou seja, 11{,}04\,b^4 + b^3 - 0,25\,b^2 \approx 0.
  • Fatorando b^2 (sabendo que b não é zero): b^2\left(11{,}04\,b^2 + b - 0,25\right) \approx 0.A solução fisicamente relevante vem da equação 11{,}04\,b^2 + b - 0,25 = 0.(Desprezamos a solução b=0 porque existe \mathrm{OH^-} inicial.)

Passo 7

Resolver a quadrática para b:
  • A equação é 11{,}04\,b^2 + b - 0,25 = 0.Use a fórmula de Bhaskara: b = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 4\cdot 11{,}04 \cdot(-0,25)}}{2\cdot11{,}04}.
  • Calcular o discriminante: \Delta = 1 + 4\cdot11{,}04\cdot0,25 = 1 + 11{,}04 = 12{,}04.
\sqrt{\Delta} \approx 3{,}470.
  • Raiz positiva (física): b = \dfrac{-1 + 3{,}470}{22{,}08} = \dfrac{2{,}470}{22{,}08} \approx 0{,}1119\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 8

Com b encontrado, calcular x, y e s:
  • Primeiro x = \dfrac{\mathrm{K_{sp}}}{b^2}: x = \dfrac{1,2\times10^{-17}}{(0{,}1119)^2}.
(0{,}1119)^2 \approx 0{,}01252 \quad\Rightarrow\quad x \approx \dfrac{1,2\times10^{-17}}{0{,}01252} \approx 9,6\times10^{-16}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
(Extremamente pequeno: praticamente todo o Zn está como complexo.)
  • Depois y = \mathrm{K_f}\mathrm{K_{sp}}\,b^2: y = 5{,}52 \times (0{,}1119)^2 \approx 5{,}52 \times 0{,}01252 \approx 0{,}0691\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Solubilidade total: s = x + y \approx 9{,}6\times10^{-16} + 0{,}0691 \approx 0{,}0691\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.Portanto praticamente todo o Zn dissolvido está na forma \mathrm{Zn(OH)_4^{2-}}.

Passo 9

Verificação rápida do balanço de \mathrm{OH^-} (checagem de consistência):
  • Calcular b a partir de 0,25 + 2s - 4y: b = 0,25 + 2(0{,}0691) - 4(0{,}0691) = 0,25 + 0{,}1382 - 0{,}2764 \approx 0{,}1118,que coincide com b\approx0{,}1119 (diferença por arredondamento). Bom sinal: solução consistente.
  • Justificativa da aproximação feita anteriormente: o termo -2\mathrm{K_{sp}} é da ordem de 10^{-17}, insignificante frente a termos da ordem de 10^{-1}, então a aproximação é válida.

Resposta

s \approx 0,0691\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

Exercícios relacionados