Determine a \left[\mathrm{Hg}_{2}{ }^{2+}\right] em uma solução de \mathrm{KBr} 0,00100 \mathrm{M} saturada com \mathrm{Hg}_{2} \mathrm{Br}_{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Temos uma solução de \mathrm{KBr} com concentração 0,00100\\ \mathrm{M}.
  • Essa solução está saturada em contato com o sólido \mathrm{Hg}_2\mathrm{Br}_2(s).
  • O que se pede: determinar a concentração \left[\mathrm{Hg}_2^{2+}\right] em equilíbrio.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A concentração inicial de brometo proveniente do sal solúvel é \left[\mathrm{Br}^-\right]_{\text{inicial}} = 0,00100\\ \mathrm{M}.
  • O sólido \mathrm{Hg}_2\mathrm{Br}_2 forneceria íons \mathrm{Hg}_2^{2+} e \mathrm{Br}^- ao se dissolver.

Passo 2

Escrevendo a equação de dissolução e a expressão de equilíbrio (Ksp).
A reação de dissolução do sólido é
\mathrm{Hg}_2\mathrm{Br}_2(s) \rightleftharpoons \mathrm{Hg}_2^{2+}(aq) + 2\,\mathrm{Br}^-(aq).
A constante de solubilidade (produto de solubilidade) é definida por
K_{sp} = \left[\mathrm{Hg}_2^{2+}\right]\left[\mathrm{Br}^-\right]^2,
onde:
  • \left[\mathrm{Hg}_2^{2+}\right] é a concentração molar do íon mercúrio(I) em equilíbrio;
  • \left[\mathrm{Br}^-\right] é a concentração molar do íon brometo em equilíbrio.

Passo 3

Definindo incógnitas e as concentrações em equilíbrio.
Seja s a solubilidade do sal em termos de \mathrm{Hg}_2^{2+}, ou seja
s \equiv \left[\mathrm{Hg}_2^{2+}\right]\\ \text{em equilibrio}.
Cada fórmula de \mathrm{Hg}_2\mathrm{Br}_2 que se dissolve gera 2 íons \mathrm{Br}^-, então a contribuição do sal pouco solúvel para \mathrm{Br}^- é 2s.
Portanto a concentração total de brometo em equilíbrio é
\left[\mathrm{Br}^-\right] = 0,00100 + 2s.
Substituindo na expressão do K_{sp} obtemos a equação exata que relaciona s e K_{sp}:
K_{sp} = s\bigl(0,00100 + 2s\bigr)^2.

Passo 4

Usando o efeito do íon comum para simplificar (explicação didática).
Como já existe uma concentração significativa de \mathrm{Br}^- vinda de \mathrm{KBr} ( 0,00100\\ \mathrm{M}), a quantidade adicional 2s proveniente da dissolução de \mathrm{Hg}_2\mathrm{Br}_2 costuma ser muito pequena comparada a 0,00100\\ \mathrm{M}. Esse é o chamado efeito do íon comum: a presença prévia de \mathrm{Br}^- reduz bastante a solubilidade do sal.
Assim, uma aproximação muito usada na prova é desprezar 2s frente a 0,00100, ou seja assumir
\left[\mathrm{Br}^-\right] \approx 0,00100.
Esta aproximação transforma a equação de equilíbrio em uma forma muito simples e direta.

Passo 5

Obter a expressão aproximada para \left[\mathrm{Hg}_2^{2+}\right].
Com a aproximação \left[\mathrm{Br}^-\right]\approx0,00100, temos
K_{sp} \approx s\,(0,00100)^2.
Isolando s,
s \approx \dfrac{K_{sp}}{(0,00100)^2}.
Lembre que s é exatamente \left[\mathrm{Hg}_2^{2+}\right], logo a expressão aproximada para a concentração que o enunciado pede é
\left[\mathrm{Hg}_2^{2+}\right] \approx \dfrac{K_{sp}}{(0,00100)^2}.

Passo 6

Verificação da validade da aproximação (como checar na hora da prova).
A aproximação \left[\mathrm{Br}^-\right]\approx0,00100 é válida se 2s \ll 0,00100. Substituindo s\approx K_{sp}/(0,00100)^2 isso dá a condição
2\cdot\dfrac{K_{sp}}{(0,00100)^2} \ll 0,00100
ou equivalentemente
K_{sp} \ll \dfrac{(0,00100)^3}{2} = \dfrac{1{,}0\times10^{-9}}{2} = 5{,}0\times10^{-10}.
Ou seja, se K_{sp} for muito menor que 5{,}0\times10^{-10}, a aproximação é perfeitamente segura. Se o K_{sp} fornecido for da ordem de 10^{-12}, 10^{-20} etc., a aproximação é ótima. Se o K_{sp} for comparável a 10^{-9} ou maior, aí é preciso resolver numericamente a equação exata
s\bigl(0,00100+2s\bigr)^2 = K_{sp}
para obter s sem aproximar.

Passo 7

Observações sobre solução exata (se for necessário fazer sem aproximação).
A equação exata é cúbica em s. Na prática, se o K_{sp} for fornecido e for grande o suficiente para invalidar a aproximação, resolve-se numericamente por métodos simples (iteração: calcular s_0 pela aproximação e usar s_1=K_{sp}/(0,00100+2s_0)^2 até convergência) ou usando um método numérico/algébrico para raízes. Para a maioria dos sais pouco solúveis com um sal comum presente a concentração inicial do íon comum domina e a fórmula aproximada funciona bem.

Resposta

\left[\mathrm{Hg}_2^{2+}\right] \approx \dfrac{K_{sp}}{(0,00100)^2}

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